Para cada uma das funções a seguir, determine se
é ou não o gráfico de uma função de
em
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos:
- X = ℚ: O conjunto dos números racionais.
- Y = ℚ: Outro conjunto dos números racionais.
- G = {(a, a) | a ∈ ℤ}: Um conjunto que contém pares ordenados onde ambos os elementos são iguais e pertencem aos números inteiros.
Queremos determinar se G é o gráfico de uma função que vai de X para Y. Isso significa verificar se para cada elemento de X, existe exatamente um correspondente em Y que forma um par em G.
Passo 2
Vamos relembrar o que é o gráfico de uma função. O gráfico de uma função f: X → Y é o conjunto de todos os pares ordenados (x, f(x)) onde x pertence a X e f(x) pertence a Y. Para que G seja o gráfico de uma função, deve satisfazer duas condições:
- Para cada x em X, existe pelo menos um y em Y tal que (x, y) está em G.
- Para cada x em X, existe no máximo um y em Y tal que (x, y) está em G.
Essas duas condições garantem que exista exatamente um y para cada x, o que caracteriza uma função.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto G = {(a, a) | a ∈ ℤ}. Esse conjunto contém pares ordenados onde ambos os elementos são números inteiros e iguais entre si.
Vamos verificar as duas condições mencionadas:
-
Existe pelo menos um y para cada x em X?
- X = ℚ, que inclui todos os números racionais, ou seja, números que podem ser expressos como fração de inteiros.
- G contém pares apenas onde a é inteiro. Portanto, se x for um número racional que não é inteiro, não existe um y em Y tal que (x, y) esteja em G.
Isso já viola a primeira condição, pois há elementos em X (números racionais não inteiros) que não têm nenhum correspondente em Y dentro de G. -
Existe no máximo um y para cada x em X?
- Para os números inteiros em X, existe exatamente um y correspondente em G, que é o próprio número inteiro.
- No entanto, como vimos no primeiro ponto, para números racionais não inteiros, não há y correspondente, o que já é suficiente para concluir que G não é o gráfico de uma função.
Passo 4
Além disso, mesmo que considerássemos apenas os números inteiros, o conjunto G seria o gráfico de uma função identidade restrita aos números inteiros. Mas como nossa função deveria abranger todos os números racionais (não apenas os inteiros), G não cumpre esse requisito.
Resposta
Não, G não é o gráfico de uma função de X = ℚ para Y = ℚ porque nem todo número racional em X possui um correspondente em G, violando a definição de função que requer que cada elemento do domínio tenha exatamente um correspondente no contradomínio.
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é ou não o gráfico de uma função de
em
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em
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Qual das seguintes funções está bem-definida?
definida pela equação
para todo
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definida pela equação
para todo
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