Qual das seguintes funções está bem-definida?
definida pela equação
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A questão nos apresenta uma função
definida pela equação
para todo
nos números naturais (
). Nosso objetivo é verificar se essa função está bem-definida, ou seja, se para cada
em
, existe um valor único de
que pertence aos números racionais (
).
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
na equação dada. Temos:
Para encontrar
, dividimos os dois lados da equação por
:
Passo 3
Agora que encontramos uma expressão para
, precisamos verificar se essa expressão está bem-definida para todo
em
. Isso significa que para cada valor natural de
,
deve ser um número racional (
).
Observemos que
pertence aos números naturais, então
. Portanto,
, o que garante que o denominador
nunca será zero. Isso evita problemas de divisão por zero, que poderiam tornar a função mal-definida.
Além disso, como
é um número natural e 1 é um inteiro, o quociente
sempre resultará em um número racional, já que a divisão de dois inteiros (com denominador diferente de zero) é sempre um número racional.
Resposta
A função
está bem-definida para todo
em
, pois para cada
,
é um número racional e o denominador nunca é zero.
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções a seguir, determine se
é ou não o gráfico de uma função de
em
.
.
Para cada uma das funções a seguir, determine se
é ou não o gráfico de uma função de
em
.
.
Qual das seguintes funções está bem-definida?
definida pela equação
para todo
.
Encontre condições sobre os conjuntos
e
de modo que a função
dada por
esteja bem-definida.