Qual das seguintes funções está bem-definida? definida pela equação para todo .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A questão nos apresenta uma função definida pela equação para todo nos números naturais ( ). Nosso objetivo é verificar se essa função está bem-definida, ou seja, se para cada em , existe um valor único de que pertence aos números racionais ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos isolar na equação dada. Temos:
Para encontrar , dividimos os dois lados da equação por :

Passo 3

Agora que encontramos uma expressão para , precisamos verificar se essa expressão está bem-definida para todo em . Isso significa que para cada valor natural de , deve ser um número racional ( ).
Observemos que pertence aos números naturais, então . Portanto, , o que garante que o denominador nunca será zero. Isso evita problemas de divisão por zero, que poderiam tornar a função mal-definida.
Além disso, como é um número natural e 1 é um inteiro, o quociente sempre resultará em um número racional, já que a divisão de dois inteiros (com denominador diferente de zero) é sempre um número racional.

Resposta

A função está bem-definida para todo em , pois para cada , é um número racional e o denominador nunca é zero.

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Para cada uma das funções a seguir, determine se é ou não o gráfico de uma função de em . .
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Qual das seguintes funções está bem-definida? definida pela equação para todo .
Encontre condições sobre os conjuntos e de modo que a função dada por
esteja bem-definida.