Qual das seguintes funções está bem-definida?
definida pela equação
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O enunciado está nos pedindo para verificar se uma função
está bem-definida. A função é dada pela equação
para todo
. Então, vamos entender o que significa uma função estar bem-definida e o que precisamos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, uma função bem-definida é aquela que, para cada valor de entrada
no conjunto de partida (
), existe exatamente um valor de saída
no conjunto de chegada (
). Ou seja, para cada
, precisamos encontrar um único
que satisfaça a equação dada.
Passo 3
Vamos reescrever a equação para isolar
:
Agora, precisamos analisar se
pertence a
para todo
.
Passo 4
Observamos que
é uma fração. No conjunto dos números naturais (
), só temos números inteiros não negativos (como 0, 1, 2, 3, …). A menos que
,
não será um número natural.
Passo 5
Vamos verificar para quais valores de
a função dá um número natural:
- Se
: → está bem. - Se
: → não é um número natural. - E assim por diante, para
, será uma fração menor que 1, que não pertence a .
Passo 6
Como para a maioria dos valores de
na
,
não resulta em um número natural, a função não consegue atribuir um valor válido de saída para cada entrada no conjunto dos números naturais.
Resposta
A função
não está bem-definida no conjunto dos números naturais.
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Qual das seguintes funções está bem-definida?
definida pela equação
para todo
.
Para cada uma das funções a seguir, determine se
é ou não o gráfico de uma função de
em
.
.
Encontre condições sobre os conjuntos
e
de modo que a função
dada por
esteja bem-definida.
Prove que a composição de funções é associativa. Ou seja, dadas funções
e
, prove que