Qual das seguintes funções está bem-definida? definida pela equação para todo .

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado está nos pedindo para verificar se uma função está bem-definida. A função é dada pela equação para todo . Então, vamos entender o que significa uma função estar bem-definida e o que precisamos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, uma função bem-definida é aquela que, para cada valor de entrada no conjunto de partida ( ), existe exatamente um valor de saída no conjunto de chegada ( ). Ou seja, para cada , precisamos encontrar um único que satisfaça a equação dada.

Passo 3

Vamos reescrever a equação para isolar :
Agora, precisamos analisar se pertence a para todo .

Passo 4

Observamos que é uma fração. No conjunto dos números naturais ( ), só temos números inteiros não negativos (como 0, 1, 2, 3, …). A menos que , não será um número natural.

Passo 5

Vamos verificar para quais valores de a função dá um número natural:
  • Se : → está bem.
  • Se : → não é um número natural.
  • E assim por diante, para , será uma fração menor que 1, que não pertence a .

Passo 6

Como para a maioria dos valores de na , não resulta em um número natural, a função não consegue atribuir um valor válido de saída para cada entrada no conjunto dos números naturais.

Resposta

A função não está bem-definida no conjunto dos números naturais.

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esteja bem-definida.
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