Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, tipo derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar os pontos críticos da função. Isso acontece onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, igualamos as derivadas a zero:
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações resultante:
Da equação (2):
Agora, substituímos
na equação (1):
E então,
Então, o ponto crítico é
.
Passo 4
Agora, vamos classificar esse ponto usando o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as derivadas segundas:
Calculamos o discriminante
:
Como
, isso indica que o ponto crítico
é um ponto de sela.
Resposta
A função
possui um ponto de sela em
. Não há máximos ou mínimos locais.