Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções abaixo:
(e) ln (x+y)+x^2-y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, tipo derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar os pontos críticos da função. Isso acontece onde as derivadas parciais em relação a fx = partial fpartial x = 1x + y cdot 1 + 2x = 1x + y + 2x e fy = partial fpartial y = 1x + y cdot 1 - 1 = 1x + y - 1 são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais:
1x + y + 2x = 0 (1)
1x + y - 1 = 0 (2)
Agora, igualamos as derivadas a zero:

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações resultante:
Da equação (2):
1x + y - 1 = 0 implies 1x + y = 1 implies x + y = 1
Agora, substituímos 1x + (1 - x) + 2x = 11 + 2x = 1 + 2x = 0 implies 2x = -1 implies x = -12 na equação (1):
E então,
Então, o ponto crítico é .

Passo 4

Agora, vamos classificar esse ponto usando o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as derivadas segundas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = -1(x + y)^2 cdot 0 + 2 = 2
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -1(x + y)^2 cdot 1 cdot 0 = 0
fxy = partial^2 fpartial x partial y = -1(x + y)^2 cdot 1 = -1(1)^2 = -1
Calculamos o discriminante D = fxx cdot fyy - (fxy)^2 = 2 cdot 0 - (-1)^2 = -1 :
Como , isso indica que o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

A função possui um ponto de sela em . Não há máximos ou mínimos locais.

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