Para cada uma das funções a seguir, prove que ela possui pelo menos um zero no intervalo indicado. Em seguida, encontre um zero aproximado de cada função utilizando o Método da Bissecção, adotando
. Faça, no máximo, 6 iterações.
, no intervalo
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que envolve encontrar um zero da função
no intervalo
. Isso está relacionado ao estudo de funções contínuas e métodos numéricos para encontrar raízes, especificamente o Método da Bissecção. Para resolver, vamos precisar entender o que é um zero de uma função, o Teorema do Valor Intermediário e como aplicar o Método da Bissecção passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ter um zero no intervalo
. Um zero de uma função é o valor de
onde
. Ou seja, estamos procurando um valor de
dentro desse intervalo que satisfaça a equação
.
Passo 3
Para provar que existe pelo menos um zero nesse intervalo, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema diz que se uma função
é contínua em um intervalo
e
e
têm sinais opostos, então existe pelo menos um
em
tal que
.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Vemos que
é negativo e
é positivo. Como os sinais são opostos e a função
é contínua (pois é a soma de funções contínuas), pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um zero em
.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o Método da Bissecção para encontrar um zero aproximado da função. Esse método funciona dividindo o intervalo ao meio e selecionando o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal, repetindo o processo até atingir a precisão desejada ou o número máximo de iterações.
Definimos a precisão
e um máximo de 6 iterações.
Passo 6
Iteração 1:
- Intervalo atual:
- Ponto médio:
- Calculamos
Como
é negativo e
é positivo, o zero está em
.
Passo 7
Iteração 2:
- Intervalo atual:
- Ponto médio:
- Calculamos
Como
é positivo e
é negativo, o zero está em
.
Passo 8
Iteração 3:
- Intervalo atual:
- Ponto médio:
- Calculamos
Como
é negativo e
é positivo, o zero está em
.
Passo 9
Iteração 4:
- Intervalo atual:
- Ponto médio:
- Calculamos
Como
é positivo e
é negativo, o zero está em
.
Passo 10
Iteração 5:
- Intervalo atual:
- Ponto médio:
- Calculamos
Como
é negativo e
é positivo, o zero está em
.
Passo 11
Iteração 6:
- Intervalo atual:
- Ponto médio:
- Calculamos
Como
é negativo e
é positivo, o zero está em
.
Resposta
Após 6 iterações do Método da Bissecção, o zero aproximado da função
no intervalo
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Determine qual é o número mínimo de iterações para que o Método da Bissecção encontre uma solução aproximada da equação
uma tolerância
.
Faça três iterações do Método da Bisseç̧ão para estimar a solução
da equação
.
Para cada uma das funções a seguir, prove que ela possui pelo menos um zero no intervalo indicado. Em seguida, encontre um zero aproximado de cada função utilizando o Método da Bissecção, adotando
. Faça, no máximo, 6 iterações.
, no intervalo
.