Para cada uma das funções a seguir, prove que ela possui pelo menos um zero no intervalo indicado. Em seguida, encontre um zero aproximado de cada função utilizando o Método da Bissecção, adotando . Faça, no máximo, 6 iterações.
, no intervalo .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que envolve encontrar um zero da função no intervalo . Isso está relacionado ao estudo de funções contínuas e métodos numéricos para encontrar raízes, especificamente o Método da Bissecção. Para resolver, vamos precisar entender o que é um zero de uma função, o Teorema do Valor Intermediário e como aplicar o Método da Bissecção passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ter um zero no intervalo . Um zero de uma função é o valor de onde . Ou seja, estamos procurando um valor de dentro desse intervalo que satisfaça a equação .

Passo 3

Para provar que existe pelo menos um zero nesse intervalo, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema diz que se uma função é contínua em um intervalo e e têm sinais opostos, então existe pelo menos um em tal que .

Passo 4

Vamos calcular e :
Vemos que é negativo e é positivo. Como os sinais são opostos e a função é contínua (pois é a soma de funções contínuas), pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um zero em .

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Método da Bissecção para encontrar um zero aproximado da função. Esse método funciona dividindo o intervalo ao meio e selecionando o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal, repetindo o processo até atingir a precisão desejada ou o número máximo de iterações.
Definimos a precisão e um máximo de 6 iterações.

Passo 6

Iteração 1:
  • Intervalo atual:
  • Ponto médio:
  • Calculamos
Como é negativo e é positivo, o zero está em .

Passo 7

Iteração 2:
  • Intervalo atual:
  • Ponto médio:
  • Calculamos
Como é positivo e é negativo, o zero está em .

Passo 8

Iteração 3:
  • Intervalo atual:
  • Ponto médio:
  • Calculamos
Como é negativo e é positivo, o zero está em .

Passo 9

Iteração 4:
  • Intervalo atual:
  • Ponto médio:
  • Calculamos
Como é positivo e é negativo, o zero está em .

Passo 10

Iteração 5:
  • Intervalo atual:
  • Ponto médio:
  • Calculamos
Como é negativo e é positivo, o zero está em .

Passo 11

Iteração 6:
  • Intervalo atual:
  • Ponto médio:
  • Calculamos
Como é negativo e é positivo, o zero está em .

Resposta

Após 6 iterações do Método da Bissecção, o zero aproximado da função no intervalo é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Determine qual é o número mínimo de iterações para que o Método da Bissecção encontre uma solução aproximada da equação uma tolerância .
Faça três iterações do Método da Bisseç̧ão para estimar a solução da equação .
Para cada uma das funções a seguir, prove que ela possui pelo menos um zero no intervalo indicado. Em seguida, encontre um zero aproximado de cada função utilizando o Método da Bissecção, adotando . Faça, no máximo, 6 iterações.
, no intervalo .