Determine qual é o número mínimo de iterações para que o Método da Bissecção encontre uma solução aproximada da equação
uma tolerância
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa descobrir quantas vezes a gente precisa dividir o intervalo pela metade usando o Método da Bissecção para encontrar uma solução aproximada da equação
com uma tolerância de
. Para isso, vamos usar um pouco de matemática básica e entender como o método funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Método da Bissecção. Esse método é usado para encontrar raízes de uma função, ou seja, valores de
que fazem
. A ideia é pegar um intervalo
onde sabemos que a raiz está dentro (ou seja,
e
têm sinais opostos) e, a cada iteração, dividir esse intervalo pela metade, escolhendo o subintervalo onde a raiz está.
Passo 3
Agora, para determinar o número mínimo de iterações necessárias para alcançar a tolerância
, usamos a seguinte fórmula:
Aqui,
é o número mínimo de iterações,
é o comprimento do intervalo inicial, e
é a tolerância desejada.
Passo 4
Vamos aplicar os valores que temos:
- Tolerância
- Suponha que o intervalo inicial
seja conhecido. Se não foi dado, vamos deixar a fórmula em termos de .
Substituindo na fórmula:
Lembrando que
.
Passo 5
Simplificando a expressão:
Isso nos dá o número mínimo de iterações necessárias para garantir que a solução encontrada esteja dentro da tolerância
.
Resposta
O número mínimo de iterações necessário é dado por:
Exercícios relacionados
Faça três iterações do Método da Bisseç̧ão para estimar a solução
da equação
.
Mostre que
possui pelo menos uma raiz no intervalo
.
Para cada uma das funções a seguir, prove que ela possui pelo menos um zero no intervalo indicado. Em seguida, encontre um zero aproximado de cada função utilizando o Método da Bissecção, adotando
. Faça, no máximo, 6 iterações.
, no intervalo
.
Para cada uma das funções a seguir, prove que ela possui pelo menos um zero no intervalo indicado. Em seguida, encontre um zero aproximado de cada função utilizando o Método da Bissecção, adotando
. Faça, no máximo, 6 iterações.
, no intervalo
.