Determine qual é o número mínimo de iterações para que o Método da Bissecção encontre uma solução aproximada da equação uma tolerância .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa descobrir quantas vezes a gente precisa dividir o intervalo pela metade usando o Método da Bissecção para encontrar uma solução aproximada da equação com uma tolerância de . Para isso, vamos usar um pouco de matemática básica e entender como o método funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Método da Bissecção. Esse método é usado para encontrar raízes de uma função, ou seja, valores de que fazem . A ideia é pegar um intervalo onde sabemos que a raiz está dentro (ou seja, e têm sinais opostos) e, a cada iteração, dividir esse intervalo pela metade, escolhendo o subintervalo onde a raiz está.

Passo 3

Agora, para determinar o número mínimo de iterações necessárias para alcançar a tolerância , usamos a seguinte fórmula:
Aqui, é o número mínimo de iterações, é o comprimento do intervalo inicial, e é a tolerância desejada.

Passo 4

Vamos aplicar os valores que temos:
  • Tolerância
  • Suponha que o intervalo inicial seja conhecido. Se não foi dado, vamos deixar a fórmula em termos de .
Substituindo na fórmula:
Lembrando que .

Passo 5

Simplificando a expressão:
Isso nos dá o número mínimo de iterações necessárias para garantir que a solução encontrada esteja dentro da tolerância .

Resposta

O número mínimo de iterações necessário é dado por:

Exercícios relacionados

Faça três iterações do Método da Bisseç̧ão para estimar a solução da equação .
Mostre que possui pelo menos uma raiz no intervalo .
Para cada uma das funções a seguir, prove que ela possui pelo menos um zero no intervalo indicado. Em seguida, encontre um zero aproximado de cada função utilizando o Método da Bissecção, adotando . Faça, no máximo, 6 iterações.
, no intervalo .
Para cada uma das funções a seguir, prove que ela possui pelo menos um zero no intervalo indicado. Em seguida, encontre um zero aproximado de cada função utilizando o Método da Bissecção, adotando . Faça, no máximo, 6 iterações.
, no intervalo .