Para cada uma das funções a seguir, prove que ela possui pelo menos um zero no intervalo indicado. Em seguida, encontre um zero aproximado de cada função utilizando o Método da Bissecção, adotando varepsilon=0.005. Faça, no máximo, 6 iterações.
f(x)=x^3-2 x^2-20 x+30, no intervalo [1.3,4.8].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar que a função tem pelo menos um zero no intervalo e, depois, encontrar esse zero usando o Método da Bissecção com uma precisão de em no máximo 6 iterações. Para isso, vamos precisar entender sobre teorema do valor intermediário e como aplicar o Método da Bissecção passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que a função tem pelo menos um zero no intervalo dado. Para isso, usamos o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um zero entre esses pontos.

Passo 3

Vamos calcular f(1.3) = (1.3)^3 - 2(1.3)^2 - 20(1.3) + 30 approx 2.197 - 3.38 - 26 + 30 = 2.197 - 3.38 = -1.183 + (-26) = -27.183 + 30 = 2.817 e f(4.8) = (4.8)^3 - 2(4.8)^2 - 20(4.8) + 30 approx 110.592 - 46.08 - 96 + 30 = 110.592 - 46.08 = 64.512 - 96 = -31.488 + 30 = -1.488 :
Percebemos que e , ou seja, os sinais mudam de positivo para negativo.

Passo 4

Segundo o Teorema do Valor Intermediário, como é contínua e muda de sinal no intervalo , existe pelo menos um valor nesse intervalo tal que . Então, a função tem pelo menos um zero nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos usar o Método da Bissecção para encontrar esse zero aproximado. Esse método funciona dividindo o intervalo em duas partes iguais e selecionando a subintervalo onde ocorre a mudança de sinal, repetindo o processo até alcançar a precisão desejada.

Passo 6

Vamos iniciar a primeira iteração:
  • Iteração 1:
    • ,
    • Como e , o novo intervalo é

Passo 7

  • Iteração 2:
    • ,
    • Como e , o novo intervalo é

Passo 8

  • Iteração 3:
    • ,
    • Como e , o novo intervalo é

Passo 9

  • Iteração 4:
    • ,
    • Como e , o novo intervalo é

Passo 10

  • Iteração 5:
    • ,
    • Como e , o novo intervalo é

Passo 11

  • Iteração 6:
    • ,
    • Como , o novo intervalo é

Resposta

Após 6 iterações, o zero aproximado da função no intervalo usando o Método da Bissecção é aproximadamente .

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