Para cada uma das funções a seguir, prove que ela possui pelo menos um zero no intervalo indicado. Em seguida, encontre um zero aproximado de cada função utilizando o Método da Bissecção, adotando
. Faça, no máximo, 6 iterações.
, no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar que a função
tem pelo menos um zero no intervalo
e, depois, encontrar esse zero usando o Método da Bissecção com uma precisão de
em no máximo 6 iterações. Para isso, vamos precisar entender sobre teorema do valor intermediário e como aplicar o Método da Bissecção passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que a função tem pelo menos um zero no intervalo dado. Para isso, usamos o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um zero entre esses pontos.
Passo 3
Vamos calcular
e
:
Percebemos que
e
, ou seja, os sinais mudam de positivo para negativo.
Passo 4
Segundo o Teorema do Valor Intermediário, como
é contínua e muda de sinal no intervalo
, existe pelo menos um valor
nesse intervalo tal que
. Então, a função tem pelo menos um zero nesse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos usar o Método da Bissecção para encontrar esse zero aproximado. Esse método funciona dividindo o intervalo em duas partes iguais e selecionando a subintervalo onde ocorre a mudança de sinal, repetindo o processo até alcançar a precisão desejada.
Passo 6
Vamos iniciar a primeira iteração:
- Iteração 1:
-
, -
-
- Como
e , o novo intervalo é
-
Passo 7
- Iteração 2:
-
, -
-
- Como
e , o novo intervalo é
-
Passo 8
- Iteração 3:
-
, -
-
- Como
e , o novo intervalo é
-
Passo 9
- Iteração 4:
-
, -
-
- Como
e , o novo intervalo é
-
Passo 10
- Iteração 5:
-
, -
-
- Como
e , o novo intervalo é
-
Passo 11
- Iteração 6:
-
, -
-
- Como
, o novo intervalo é
-
Resposta
Após 6 iterações, o zero aproximado da função
no intervalo
usando o Método da Bissecção é aproximadamente
.
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Para cada uma das funções a seguir, prove que ela possui pelo menos um zero no intervalo indicado. Em seguida, encontre um zero aproximado de cada função utilizando o Método da Bissecção, adotando
. Faça, no máximo, 6 iterações.
, no intervalo
.
Determine qual é o número mínimo de iterações para que o Método da Bissecção encontre uma solução aproximada da equação
uma tolerância
.
Use o Método de Newton para obter uma aproximação para esta raiz. Tome
.