Para cada uma das funções de transferência a seguir, escreva a equação diferencial correspondente, obtenha as respostas temporais para uma entrada em impulso unitário e degrau unitário: X(s)/F(s) = 7/(s^2 + 5s + 10)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente transformar uma função de transferência em uma equação diferencial e depois encontrar as respostas temporais quando aplicamos duas entradas diferentes: um impulso unitário e um degrau unitário. Para isso, vamos usar conceitos de controle e sistemas dinâmicos, especificamente sobre funções de transferência e transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função de transferência. Ela relaciona a saída com a entrada no domínio de Laplace. A nossa função de transferência é:
Para encontrar a equação diferencial correspondente, multiplicamos ambos os lados por e rearranjamos:
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace para voltar ao domínio do tempo .

Passo 3

Vamos agora obter a equação diferencial. Sabemos que está relacionado à entrada pela função de transferência. Reescrevendo a equação:
Aplicando a transformada inversa de Laplace, isso se traduz na equação diferencial:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a resposta temporal para uma entrada em impulso unitário, ou seja, . Substituindo na equação diferencial:
A solução dessa equação usando a transformada de Laplace nos dá a resposta no domínio do tempo:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a resposta temporal para uma entrada em degrau unitário, ou seja, . Substituindo na equação diferencial:
Aplicando a transformada de Laplace e resolvendo, obtemos:

Resposta

A equação diferencial correspondente é:
As respostas temporais são:
  • Para entrada em impulso unitário:
  • Para entrada em degrau unitário:

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