Para cada uma das funções de transferência a seguir, escreva a equação diferencial correspondente, obtenha as respostas temporais para uma entrada em impulso unitário e degrau unitário:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma função de transferência e quer que eu transforme isso em uma equação diferencial. Além disso, você quer saber como o sistema responde a dois tipos de entrada: um impulso unitário e um degrau unitário. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformadas de Laplace e equações diferenciais, mas de um jeito bem tranquilo, passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de transferência é a relação entre a saída e a entrada no domínio de Laplace, ou seja:
Para encontrar a equação diferencial correspondente, vamos multiplicar ambos os lados por :
Sabemos que, no domínio de Laplace, corresponde à derivada temporal. Então, vamos reorganizar essa expressão para trazer tudo para o lado esquerdo:
Agora, expandindo a multiplicação no lado esquerdo:
Para voltar ao domínio do tempo, aplicamos a transformada inversa de Laplace. Lembrando que corresponde à segunda derivada de , à primeira derivada, e à própria função . Assim, temos a equação diferencial:

Passo 3

Agora vamos encontrar a resposta temporal quando a entrada é um impulso unitário, ou seja, . A transformada de Laplace do impulso é 1, então:
Para encontrar , vamos usar a técnica de frações parciais. Primeiro, escrevemos:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , escolhemos valores de :
  • Se :
  • Se :
Então, temos:
Aplicando a transformada inversa de Laplace:

Passo 4

Agora vamos ver a resposta quando a entrada é um degrau unitário, ou seja, . A transformada de Laplace do degrau é , então:
Novamente, vamos usar frações parciais. Primeiro, escrevemos:
Multiplicando ambos os lados por :
Escolhendo valores de :
  • Se :
  • Se :
  • Se :
Então, temos:
Aplicando a transformada inversa de Laplace:

Resposta

A equação diferencial correspondente é:
As respostas temporais são:
  • Resposta ao impulso unitário:
  • Resposta ao degrau unitário:

Exercícios relacionados

Para cada uma das funções de transferência a seguir, escreva a equação diferencial correspondente, obtenha as respostas temporais para uma entrada em impulso unitário e degrau unitário:
Monte a integral abaixo utilizando novas variáveis. (Não precisa calcular a integral!!!)
Utilize coordenadas cilíndricas.
( 1,0 ponto)
Determine os limites:
Para cada uma das funções de transferência a seguir, escreva a equação diferencial correspondente, obtenha as respostas temporais para uma entrada em impulso unitário e degrau unitário: