Para cada uma das funções de transferência a seguir, escreva a equação diferencial correspondente, obtenha as respostas temporais para uma entrada em impulso unitário e degrau unitário:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma função de transferência e quer que eu transforme isso em uma equação diferencial. Além disso, você quer saber como o sistema responde a dois tipos de entrada: um impulso unitário e um degrau unitário. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformadas de Laplace e equações diferenciais, mas de um jeito bem tranquilo, passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de transferência é a relação entre a saída
e a entrada
no domínio de Laplace, ou seja:
Para encontrar a equação diferencial correspondente, vamos multiplicar ambos os lados por
:
Sabemos que, no domínio de Laplace,
corresponde à derivada temporal. Então, vamos reorganizar essa expressão para trazer tudo para o lado esquerdo:
Agora, expandindo a multiplicação no lado esquerdo:
Para voltar ao domínio do tempo, aplicamos a transformada inversa de Laplace. Lembrando que
corresponde à segunda derivada de
,
à primeira derivada, e
à própria função
. Assim, temos a equação diferencial:
Passo 3
Agora vamos encontrar a resposta temporal quando a entrada é um impulso unitário, ou seja,
. A transformada de Laplace do impulso é 1, então:
Para encontrar
, vamos usar a técnica de frações parciais. Primeiro, escrevemos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
e
, escolhemos valores de
:
- Se
:
- Se
:
Então, temos:
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
Passo 4
Agora vamos ver a resposta quando a entrada é um degrau unitário, ou seja,
. A transformada de Laplace do degrau é
, então:
Novamente, vamos usar frações parciais. Primeiro, escrevemos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Escolhendo valores de
:
- Se
:
- Se
:
- Se
:
Então, temos:
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
Resposta
A equação diferencial correspondente é:
As respostas temporais são:
- Resposta ao impulso unitário:
- Resposta ao degrau unitário:
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções de transferência a seguir, escreva a equação diferencial correspondente, obtenha as respostas temporais para uma entrada em impulso unitário e degrau unitário:
Monte a integral abaixo utilizando novas variáveis. (Não precisa calcular a integral!!!)
Utilize coordenadas cilíndricas.
( 1,0 ponto)
( 1,0 ponto)
Determine os limites:
Para cada uma das funções de transferência a seguir, escreva a equação diferencial correspondente, obtenha as respostas temporais para uma entrada em impulso unitário e degrau unitário: