Monte a integral abaixo utilizando novas variáveis. (Não precisa calcular a integral!!!)
integral-2^2 integral-raiz4-y^2^raiz4-y^2 integralraizx^2+y^2^2 x z d z d x d y
Utilize coordenadas cilíndricas.
( 1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou uma integral tripla em coordenadas cartesianas e quer que a gente a monte usando coordenadas cilíndricas. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais múltiplas e mudança de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas para cilíndricas e ajustar os limites de integração e a função integranda de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cartesianas, temos os eixos x = r cos(theta) , y = r sin(theta) e z = z . Já nas coordenadas cilíndricas, usamos dV = r , dz , dr , dtheta (a distância do ponto até o eixo ), (o ângulo em relação ao eixo ) e . As relações entre elas são:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por:

Passo 3

Vamos olhar para os limites de integração na integral original:
integral-2^2 integral-raiz4-y^2^raiz4-y^2 integralraizx^2+y^2^2 x z , dz , dx , dy
Aqui, varia de a , varia de a , e varia de a .

Passo 4

Convertendo os limites para coordenadas cilíndricas:
  • : Como , isso implica que varia de a (raio do círculo).
  • : Como não há restrição no ângulo, varia de a .
  • : Varia de (já que ) a .

Passo 5

Agora, substituímos x z = (r cos(theta)) cdot z e por suas equivalentes em coordenadas cilíndricas na função integranda :
E incluímos o elemento de volume .

Passo 6

Juntando tudo, a integral em coordenadas cilíndricas fica:
integral0^2pi integral0^2 integralr^2 (r cos(theta)) cdot z cdot r , dz , dr , dtheta
Simplificando a expressão:
integral0^2pi integral0^2 integralr^2 r^2 cos(theta) z , dz , dr , dtheta

Resposta

A integral em coordenadas cilíndricas fica:
integral0^2pi integral0^2 integralr^2 r^2 cos(theta) , z , dz , dr , dtheta

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