Monte a integral abaixo utilizando novas variáveis. (Não precisa calcular a integral!!!)
Utilize coordenadas cilíndricas.
( 1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou uma integral tripla em coordenadas cartesianas e quer que a gente a monte usando coordenadas cilíndricas. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais múltiplas e mudança de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas para cilíndricas e ajustar os limites de integração e a função integranda de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cartesianas, temos os eixos , e . Já nas coordenadas cilíndricas, usamos (a distância do ponto até o eixo ), (o ângulo em relação ao eixo ) e . As relações entre elas são:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por:

Passo 3

Vamos olhar para os limites de integração na integral original:
Aqui, varia de a , varia de a , e varia de a .

Passo 4

Convertendo os limites para coordenadas cilíndricas:
  • : Como , isso implica que varia de a (raio do círculo).
  • : Como não há restrição no ângulo, varia de a .
  • : Varia de (já que ) a .

Passo 5

Agora, substituímos e por suas equivalentes em coordenadas cilíndricas na função integranda :
E incluímos o elemento de volume .

Passo 6

Juntando tudo, a integral em coordenadas cilíndricas fica:
Simplificando a expressão:

Resposta

A integral em coordenadas cilíndricas fica:

Exercícios relacionados

Um sistema é descrito pela seguinte equação diferencial:
Determine a função de transferência desse sistema sabendo que as condições iniciais são nulas.
Mostre que , .
Para cada uma das funções de transferência a seguir, escreva a equação diferencial correspondente, obtenha as respostas temporais para uma entrada em impulso unitário e degrau unitário:
Para cada uma das funções de transferência a seguir, escreva a equação diferencial correspondente, obtenha as respostas temporais para uma entrada em impulso unitário e degrau unitário: