Monte a integral abaixo utilizando novas variáveis. (Não precisa calcular a integral!!!)
Utilize coordenadas cilíndricas.
( 1,0 ponto)
( 1,0 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me mandou uma integral tripla em coordenadas cartesianas e quer que a gente a monte usando coordenadas cilíndricas. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais múltiplas e mudança de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas para cilíndricas e ajustar os limites de integração e a função integranda de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cartesianas, temos os eixos
,
e
. Já nas coordenadas cilíndricas, usamos
(a distância do ponto até o eixo
),
(o ângulo em relação ao eixo
) e
. As relações entre elas são:
Além disso, o elemento de volume
em coordenadas cilíndricas é dado por:
Passo 3
Vamos olhar para os limites de integração na integral original:
Aqui,
varia de
a
,
varia de
a
, e
varia de
a
.
Passo 4
Convertendo os limites para coordenadas cilíndricas:
-
: Como , isso implica que varia de a (raio do círculo). -
: Como não há restrição no ângulo, varia de a . -
: Varia de (já que ) a .
Passo 5
Agora, substituímos
e
por suas equivalentes em coordenadas cilíndricas na função integranda
:
E incluímos o elemento de volume
.
Passo 6
Juntando tudo, a integral em coordenadas cilíndricas fica:
Simplificando a expressão:
Resposta
A integral em coordenadas cilíndricas fica:
Exercícios relacionados
Um sistema é descrito pela seguinte equação diferencial:
Determine a função de transferência desse sistema sabendo que as condições iniciais são nulas.
Mostre que
,
.
Para cada uma das funções de transferência a seguir, escreva a equação diferencial correspondente, obtenha as respostas temporais para uma entrada em impulso unitário e degrau unitário:
Para cada uma das funções de transferência a seguir, escreva a equação diferencial correspondente, obtenha as respostas temporais para uma entrada em impulso unitário e degrau unitário: