Para cada uma das funções de transferência a seguir, escreva a equação diferencial correspondente, obtenha as respostas temporais para uma entrada em impulso unitário e degrau unitário:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente pegar a função de transferência
e transformar isso numa equação diferencial. Depois, queremos descobrir como o sistema responde quando a gente aplica duas entradas diferentes: um impulso unitário e um degrau unitário.
Para resolver isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre:
- Funções de transferência: Que relacionam a entrada e a saída de um sistema no domínio de Laplace.
- Equações diferenciais: Que representam o comportamento do sistema no tempo.
- Transformada de Laplace e sua inversa: Para ir e voltar entre os domínios de tempo e de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a função de transferência numa equação diferencial. A função de transferência é dada por:
Para encontrar a equação diferencial, multiplicamos ambos os lados por
e por
:
Agora, substituímos
e
pelas suas correspondentes transformadas de Laplace das funções no tempo, lembrando que:
Assumindo que as condições iniciais são zero, aplicamos a transformada inversa para voltar para o domínio do tempo:
Essa é a equação diferencial que representa o sistema.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a resposta temporal quando a entrada é um impulso unitário, ou seja,
.
Sabemos que a transformada de Laplace do impulso unitário é
. Então, a função de transferência já nos dá diretamente a transformada da saída:
Para achar
, fazemos a transformada inversa de Laplace. Primeiro, fatoramos o denominador:
Agora, quebramos em frações parciais:
Resolvendo para
,
e
, encontramos:
Então:
Fazendo a transformada inversa:
Passo 4
Agora, vamos ver a resposta quando a entrada é um degrau unitário, ou seja,
.
A transformada de Laplace do degrau unitário é
. Então, a saída no domínio de Laplace é:
Simplificando:
Fazemos novamente a decomposição em frações parciais:
Resolvendo os coeficientes, temos:
Então:
Fazendo a transformada inversa de Laplace:
Resposta
A equação diferencial correspondente é:
As respostas temporais são:
- Para entrada em impulso unitário:
- Para entrada em degrau unitário:
Exercícios relacionados
Determine os limites:
Para cada uma das funções de transferência a seguir, escreva a equação diferencial correspondente, obtenha as respostas temporais para uma entrada em impulso unitário e degrau unitário:
Determine os limites:
Determine os limites: