Para cada uma das funções de transferência a seguir, escreva a equação diferencial correspondente, obtenha as respostas temporais para uma entrada em impulso unitário e degrau unitário:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente pegar a função de transferência e transformar isso numa equação diferencial. Depois, queremos descobrir como o sistema responde quando a gente aplica duas entradas diferentes: um impulso unitário e um degrau unitário.
Para resolver isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre:
  • Funções de transferência: Que relacionam a entrada e a saída de um sistema no domínio de Laplace.
  • Equações diferenciais: Que representam o comportamento do sistema no tempo.
  • Transformada de Laplace e sua inversa: Para ir e voltar entre os domínios de tempo e de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a função de transferência numa equação diferencial. A função de transferência é dada por:
Para encontrar a equação diferencial, multiplicamos ambos os lados por e por :
Agora, substituímos e pelas suas correspondentes transformadas de Laplace das funções no tempo, lembrando que:
Assumindo que as condições iniciais são zero, aplicamos a transformada inversa para voltar para o domínio do tempo:
Essa é a equação diferencial que representa o sistema.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a resposta temporal quando a entrada é um impulso unitário, ou seja, .
Sabemos que a transformada de Laplace do impulso unitário é . Então, a função de transferência já nos dá diretamente a transformada da saída:
Para achar , fazemos a transformada inversa de Laplace. Primeiro, fatoramos o denominador:
Agora, quebramos em frações parciais:
Resolvendo para , e , encontramos:
Então:
Fazendo a transformada inversa:

Passo 4

Agora, vamos ver a resposta quando a entrada é um degrau unitário, ou seja, .
A transformada de Laplace do degrau unitário é . Então, a saída no domínio de Laplace é:
Simplificando:
Fazemos novamente a decomposição em frações parciais:
Resolvendo os coeficientes, temos:
Então:
Fazendo a transformada inversa de Laplace:

Resposta

A equação diferencial correspondente é:
As respostas temporais são:
  • Para entrada em impulso unitário:
  • Para entrada em degrau unitário:

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Determine os limites:
Para cada uma das funções de transferência a seguir, escreva a equação diferencial correspondente, obtenha as respostas temporais para uma entrada em impulso unitário e degrau unitário:
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