Determine os limites: lim x 1 sen(pi x^2-x+1)

Passo 1

Vamos analisar a questão: queremos determinar o limite de sin(pi x^2 - x + 1) quando x se aproxima de 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções trigonométricas e substituição direta, que nos permitem encontrar o valor do limite substituindo diretamente x por 1, desde que a função seja contínua nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a expressão dentro do seno: pi x^2 - x + 1. Para encontrar o limite da função composta, precisamos primeiro calcular o limite desta expressão quando x se aproxima de 1.

Passo 3

Substituímos x por 1 na expressão pi x^2 - x + 1:
pi (1)^2 - 1 + 1 = pi cdot 1 - 1 + 1 = pi - 1 + 1 = pi

Passo 4

Agora, sabemos que a função seno é contínua em todos os pontos do seu domínio. Portanto, o limite da função seno é igual ao seno do limite do seu argumento:
limx 1 sin(pi x^2 - x + 1) = sin( limx 1 (pi x^2 - x + 1) ) = sin(pi)

Passo 5

Calculamos o valor de sin(pi). Sabemos que sin(pi) = 0.

Resposta

O limite é 0.

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