Para cada uma das funções z=f(x, y) definidas abaixo, calcule partial zpartial x, partial zpartial y, partial^2 zpartial x^2, partial^2 zpartial y^2 e partial^2 zpartial x partial y
e) z=x sen(x^2 y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma função que depende de duas variáveis, . O que a gente precisa aqui é encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem dessa função em relação a e . Vamos usar regras de derivação parcial, como a regra do produto e a regra da cadeia, para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de partial zpartial x = sen(x^2 y) + x cdot cos(x^2 y) cdot 2x y = sen(x^2 y) + 2x^2 y cos(x^2 y) em relação a , ou seja, .
Para isso, precisamos aplicar a regra do produto, já que . A derivada do primeiro termo ( ) é 1, e a derivada do segundo termo () vai precisar da regra da cadeia.
A derivada de é , onde . Então, a derivada de em relação a é .
Então, juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de partial zpartial y = x cdot cos(x^2 y) cdot x^2 = x^3 cos(x^2 y) em relação a , .
Aqui, o é tratado como constante. A derivada de em relação a é , usando novamente a regra da cadeia.
Então:

Passo 4

Vamos seguir para as derivadas de segunda ordem. Primeiro, ddx(2x^2 y) cdot cos(x^2 y) + 2x^2 y cdot ddx(cos(x^2 y)) .
Começamos com .
Derivando novamente em relação a = 4x y cos(x^2 y) - 2x^2 y cdot sen(x^2 y) cdot 2x y :
A derivada de é = 4x y cos(x^2 y) - 4x^3 y^2 sen(x^2 y) .
Para a segunda parte, partial^2 zpartial x^2 = 2x y cos(x^2 y) + 4x y cos(x^2 y) - 4x^3 y^2 sen(x^2 y) = 6x y cos(x^2 y) - 4x^3 y^2 sen(x^2 y) , vamos aplicar a regra do produto:
Então, juntando tudo:

Passo 5

Próxima derivada de segunda ordem: partial^2 zpartial y^2 = x^3 cdot ddy(cos(x^2 y)) = x^3 cdot (-sen(x^2 y) cdot x^2) = -x^5 sen(x^2 y) .
Começamos com .
Derivando novamente em relação a :

Passo 6

Por fim, vamos calcular a derivada mista 2x^2 cdot cos(x^2 y) + 2x^2 y cdot (-sen(x^2 y) cdot x^2) = 2x^2 cos(x^2 y) - 2x^4 y sen(x^2 y) .
Podemos derivar em relação a partial^2 zpartial x partial y = x^2 cos(x^2 y) + 2x^2 cos(x^2 y) - 2x^4 y sen(x^2 y) = 3x^2 cos(x^2 y) - 2x^4 y sen(x^2 y) .
A derivada de em relação a é .
Para , aplicamos a regra do produto:
Então:

Resposta

As derivadas solicitadas são:
partial zpartial x = sen(x^2 y) + 2x^2 y cos(x^2 y)

Exercícios relacionados