Para cada uma das funções
definidas abaixo, calcule
,
e
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma função que depende de duas variáveis, . O que a gente precisa aqui é encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem dessa função em relação a
e
. Vamos usar regras de derivação parcial, como a regra do produto e a regra da cadeia, para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Para isso, precisamos aplicar a regra do produto, já que . A derivada do primeiro termo (
) é 1, e a derivada do segundo termo () vai precisar da regra da cadeia.
A derivada de é
, onde
. Então, a derivada de em relação a
é
.
Então, juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
,
.
Aqui, o
é tratado como constante. A derivada de em relação a
é
, usando novamente a regra da cadeia.
Então:
Passo 4
Vamos seguir para as derivadas de segunda ordem. Primeiro,
.
Começamos com .
Derivando novamente em relação a
:
A derivada de é
.
Para a segunda parte,
, vamos aplicar a regra do produto:
Então, juntando tudo:
Passo 5
Próxima derivada de segunda ordem:
.
Começamos com
.
Derivando novamente em relação a
:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a derivada mista
.
Podemos derivar em relação a
.
A derivada de em relação a
é
.
Para
, aplicamos a regra do produto:
Então:
Resposta
As derivadas solicitadas são: