Usando os limites fundamentais:
lim x 0 sen(x)x=1
e lim x +infty(1+1x)^x=e calcule:
(i) lim n +infty(1+3n)^5 n+2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular:
lim n +infty(1+3n)^5n+2
Esse exercício está no conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente usando limites fundamentais que envolvem a constante e. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para que ela fique na forma do limite que define e, que é:
lim x +infty(1+1x)^x=e

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a base do nosso limite, (1+3n), está parecida com a base (1+1x) do limite que define e. A diferença é o número 3 no numerador. A gente precisa ajustar isso para conseguir aplicar a definição de e.

Passo 3

Vamos reescrever a base para ter a mesma forma do limite de e. Podemos fazer isso de duas formas:
  1. Factorizar o 3 dentro do parênteses:
    (1+3n) = [(1+1n/3)]
  2. Ou, de forma mais direta, notar que:
    (1+3n)^5n+2 = [(1+3n)^n]^5 + 2n
Vamos seguir pela segunda op��ão para facilitar a aplicação do limite.

Passo 4

Agora, observe que:
limn +infty (1+3n)^n = e^3
Isso porque, na definição de e, se multiplicarmos o numerador da fração dentro do parênteses por uma constante, o limite se eleva à potência dessa constante.
Além disso, para o expoente 5 + 2n, conforme n tende ao infinito, 2n tende a zero. Então, o expoente simplifica para 5.

Passo 5

Com isso, podemos juntar tudo:
lim n +infty(1+3n)^5n+2 = (limn +infty (1+3n)^n)^5 times (limn +infty (1+3n)^2)
Sabemos que (1+3n)^n e^3 e (1+3n)^2 1 quando n +infty. Portanto:
e^3 times 5 times 1 = e^15

Resposta

lim n +infty(1+3n)^5n+2 = e^15

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