Usando os limites fundamentais:
calcule:
(i)
.
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular:
Esse exercício está no conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente usando limites fundamentais que envolvem a constante e. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para que ela fique na forma do limite que define e, que é:
Passo 2
Primeiro, vamos observar que a base do nosso limite,
, está parecida com a base
do limite que define e. A diferença é o número 3 no numerador. A gente precisa ajustar isso para conseguir aplicar a definição de e.
Passo 3
Vamos reescrever a base para ter a mesma forma do limite de e. Podemos fazer isso de duas formas:
-
Factorizar o 3 dentro do parênteses:
-
Ou, de forma mais direta, notar que:
Vamos seguir pela segunda op��ão para facilitar a aplicação do limite.
Passo 4
Agora, observe que:
Isso porque, na definição de e, se multiplicarmos o numerador da fração dentro do parênteses por uma constante, o limite se eleva à potência dessa constante.
Além disso, para o expoente
, conforme
tende ao infinito,
tende a zero. Então, o expoente simplifica para 5.
Passo 5
Com isso, podemos juntar tudo:
Sabemos que
e
quando
. Portanto: