Nos exercícios 20. a 32., conclua que o limite não existe ou, se existir, determine seu valor.
31.
Passo 1
Vamos resolver o limite da função quando e se aproximam de 0. Esse exercício envolve o estudo de limites em duas variáveis, usando conceitos de álgebra e análise de funções. Para resolver, vamos analisar diferentes caminhos pelos quais e podem se aproximar de 0 e verificar se o limite é o mesmo em todos esses caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o caminho onde . Substituindo por 0 na função, temos:
Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Portanto, ao longo desse caminho, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos considerar o caminho onde . Substituindo por 0 na função, temos:
Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Portanto, ao longo desse caminho, o limite é 0.
Passo 4
Vamos testar um caminho diferente, por exemplo, . Substituindo por na função, temos:
Novamente, quando se aproxima de 0, o limite é 0.
Passo 5
Agora, vamos considerar um caminho onde , onde é uma constante. Substituindo por na função, temos:
Conforme se aproxima de 0, todo o termo também se aproxima de 0, independentemente do valor de .
Passo 6
Até aqui, todos os caminhos testados resultaram no limite sendo 0. Para ter certeza de que o limite existe e é realmente 0, podemos usar a desigualdade para estimar o valor absoluto da função.
Observamos que:
E sabemos que . Portanto:
Como e se aproximam de 0, também se aproxima de 0, o que confirma que o limite é 0.