Nos exercícios 20. a 32., conclua que o limite não existe ou, se existir, determine seu valor.
31. lim substackx 0 y 0 x^3+y^3x^2+y^2

Passo 1

Vamos resolver o limite da função quando e se aproximam de 0. Esse exercício envolve o estudo de limites em duas variáveis, usando conceitos de álgebra e análise de funções. Para resolver, vamos analisar diferentes caminhos pelos quais e podem se aproximar de 0 e verificar se o limite é o mesmo em todos esses caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caminho onde x^3+0^3x^2+0^2 = x^3x^2 = x . Substituindo por 0 na função, temos:
Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Portanto, ao longo desse caminho, o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos considerar o caminho onde 0^3+y^30^2+y^2 = y^3y^2 = y . Substituindo por 0 na função, temos:
Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Portanto, ao longo desse caminho, o limite é 0.

Passo 4

Vamos testar um caminho diferente, por exemplo, x^3+x^3x^2+x^2 = 2x^32x^2 = x . Substituindo por na função, temos:
Novamente, quando se aproxima de 0, o limite é 0.

Passo 5

Agora, vamos considerar um caminho onde x^3+(kx)^3x^2+(kx)^2 = x^3+k^3x^3x^2+k^2x^2 = x^3(1 + k^3)x^2(1 + k^2) = x cdot 1 + k^31 + k^2 , onde é uma constante. Substituindo por na função, temos:
Conforme se aproxima de 0, todo o termo também se aproxima de 0, independentemente do valor de .

Passo 6

Até aqui, todos os caminhos testados resultaram no limite sendo 0. Para ter certeza de que o limite existe e é realmente 0, podemos usar a desigualdade para estimar o valor absoluto da função.
Observamos que:
|x^3 + y^3| <= |x^3| + |y^3| = |x|^3 + |y|^3
E sabemos que | x^3 + y^3x^2 + y^2 | <= |x|^3 + |y|^3x^2 + y^2 <= |x|^3 + |y|^312(x^2 + y^2) = 2 ( |x| + |y| ) . Portanto:
Como e se aproximam de 0, também se aproxima de 0, o que confirma que o limite é 0.

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

Exercícios relacionados