Para cada hipérbole dada abaixo, determine os vértices, os focos e a excentricidade. Esboce o gráfico.
(h)
. Resp:
.
(h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre hipérboles, que são um tipo de curva no estudo da geometria analítica. A tarefa é encontrar os vértices, os focos e a excentricidade da hipérbole dada pela equação
. Para resolver isso, vamos lembrar como identificar esses elementos a partir da equação geral de uma hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da hipérbole para que fique na forma padrão. A equação dada é:
Vamos mover o número 2 para o outro lado:
Agora, dividimos todos os termos por 2 para deixar a equação na forma padrão:
Passo 3
A forma padrão de uma hipérbole que abre para os lados é:
Comparando com a nossa equação, vemos que
e
, então o centro da hipérbole está na origem
. Além disso, temos
e
, o que significa que:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os vértices. Para uma hipérbole que abre horizontalmente, os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo
. Como
e o centro é
, os vértices são:
Passo 5
Os focos também estão alinhados ao longo do eixo principal, mas a uma distância
do centro, onde
é dado por:
Substituindo os valores:
Então, os focos são:
Passo 6
A excentricidade
da hipérbole mede o quão “alongada” ela é e é calculada por:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
Vértices:
Focos:
Excentricidade:
Focos:
Excentricidade: