Para cada hipérbole dada abaixo, determine os vértices, os focos e a excentricidade. Esboce o gráfico.
(h) x^2-y^2-2=0. Resp: A( pm raiz2, 0), F( pm 2,0), e=raiz2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre hipérboles, que são um tipo de curva no estudo da geometria analítica. A tarefa é encontrar os vértices, os focos e a excentricidade da hipérbole dada pela equação . Para resolver isso, vamos lembrar como identificar esses elementos a partir da equação geral de uma hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da hipérbole para que fique na forma padrão. A equação dada é:
x^2 - y^2 - 2 = 0
Vamos mover o número 2 para o outro lado:
x^2 - y^2 = 2
Agora, dividimos todos os termos por 2 para deixar a equação na forma padrão:
x^22 - y^22 = 1

Passo 3

A forma padrão de uma hipérbole que abre para os lados é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Comparando com a nossa equação, vemos que a = raiz2 e b = raiz2 , então o centro da hipérbole está na origem . Além disso, temos e , o que significa que:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os vértices. Para uma hipérbole que abre horizontalmente, os vértices estão a uma distância A(pm raiz2, 0) do centro ao longo do eixo . Como e o centro é , os vértices são:

Passo 5

Os focos também estão alinhados ao longo do eixo principal, mas a uma distância c = raiza^2 + b^2 do centro, onde c = raiz2 + 2 = raiz4 = 2 é dado por:
F(pm 2, 0)
Substituindo os valores:
Então, os focos são:

Passo 6

A excentricidade e = ca da hipérbole mede o quão “alongada” ela é e é calculada por:
e = 2raiz2 = raiz2
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

Vértices:
Focos:
Excentricidade:

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