Determine, justificando sua resposta, se é verdadeiro ou falso cada um das seguintes afirmativas sobre TLs: Se
é injetiva, então não existe
tal que
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma afirmação sobre transformações lineares (TLs) que diz: "Se
é injetiva, então não existe
tal que
". Vamos resolver isso usando conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares injetivas e núcleo (ou kernel).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear ser injetiva. Uma TL
é injetiva se elementos diferentes em
são mapeados para elementos diferentes em
. Em outras palavras, se
implica que
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o núcleo de uma transformação linear, que é o conjunto de todos os vetores
em
tal que
. Matematicamente, é representado por:
Uma transformação linear é injetiva se e somente se seu núcleo contém apenas o vetor zero. Isso significa que se
é injetiva, então
.
Passo 4
Vamos aplicar isso à afirmação da questão. Se
é injetiva, então
. Ou seja, o único vetor
que satisfaz
é
. Portanto, não existe nenhum vetor diferente de zero que seja mapeado para zero por
.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
é injetiva, então o único vetor
que satisfaz
é
, ou seja, não existe
tal que
.