Determine, justificando sua resposta, se é verdadeiro ou falso cada um das seguintes afirmativas sobre TLs: Se T é injetiva, então não existe w neq 0 tal que T(w)=0.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma afirmação sobre transformações lineares (TLs) que diz: "Se é injetiva, então não existe tal que ". Vamos resolver isso usando conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares injetivas e núcleo (ou kernel).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear ser injetiva. Uma TL é injetiva se elementos diferentes em são mapeados para elementos diferentes em . Em outras palavras, se implica que .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o núcleo de uma transformação linear, que é o conjunto de todos os vetores Ker(T) = v in V mid T(v) = 0 em tal que . Matematicamente, é representado por:
Uma transformação linear é injetiva se e somente se seu núcleo contém apenas o vetor zero. Isso significa que se é injetiva, então .

Passo 4

Vamos aplicar isso à afirmação da questão. Se é injetiva, então . Ou seja, o único vetor que satisfaz é . Portanto, não existe nenhum vetor diferente de zero que seja mapeado para zero por .

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se é injetiva, então o único vetor que satisfaz é , ou seja, não existe tal que .

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