Determinar a equação da elipse que satisfaz os seguintes dados:
Centro
, um foco
e eixo maior mede 6. Resp:
.
Centro
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a equação de uma elipse sabendo que:
- O centro está na origem, ou seja, em
. - Um dos focos está em
. - O eixo maior tem comprimento 6.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar um pouco da teoria sobre elipses, especificamente sobre como relacionar os parâmetros principais da elipse na fórmula geral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula padrão da elipse com centro na origem:
Aqui,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor da elipse.
Passo 3
Sabemos que o comprimento do eixo maior é 6, então o semi-eixo maior
é metade disso:
Então,
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor de
, que é a distância do centro até cada foco. Foi dado que um foco está em
, então:
Passo 5
A relação entre
,
e
em uma elipse é:
Vamos usar isso para encontrar
:
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos substituir na fórmula padrão da elipse:
Para deixar a equação sem frações, multiplicamos todos os termos por 36 (o mínimo múltiplo comum de 9 e 4):
Mas para combinar os termos de forma mais tradicional, podemos escrever como:
Resposta
A equação da elipse é
.