Determinar a equação da elipse que satisfaz os seguintes dados:
Centro C(0,0), um foco F(0,-raiz5) e eixo maior mede 6. Resp: 9 x^2+4 y^2=36.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a equação de uma elipse sabendo que:
  • O centro está na origem, ou seja, em .
  • Um dos focos está em .
  • O eixo maior tem comprimento 6.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar um pouco da teoria sobre elipses, especificamente sobre como relacionar os parâmetros principais da elipse na fórmula geral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula padrão da elipse com centro na origem:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Aqui, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor da elipse.

Passo 3

Sabemos que o comprimento do eixo maior é 6, então o semi-eixo maior a = 62 = 3 é metade disso:
Então, .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de c = raiz5 , que é a distância do centro até cada foco. Foi dado que um foco está em , então:

Passo 5

A relação entre a^2 = b^2 + c^2 , 3^2 = b^2 + (raiz5)^2 9 = b^2 + 5 b^2 = 9 - 5 b^2 = 4 b = 2 e em uma elipse é:
Vamos usar isso para encontrar :

Passo 6

Agora que temos x^23^2 + y^22^2 = 1 x^29 + y^24 = 1 e 36 ( x^29 + y^24 ) = 36 cdot 1 4x^2 + 9y^2 = 36 , vamos substituir na fórmula padrão da elipse:
9x^2 + 4y^2 = 36
Para deixar a equação sem frações, multiplicamos todos os termos por 36 (o mínimo múltiplo comum de 9 e 4):
Mas para combinar os termos de forma mais tradicional, podemos escrever como:

Resposta

A equação da elipse é .

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