Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância entre o ponto x = 1 + lambda + mu y = -2 + 2lambda - mu z = 1 - lambda + mu e o plano definido pelas equações paramétricas:
Isso envolve conceitos de geometria analítica, mais especificamente a fórmula para calcular a distância de um ponto a um plano. Vamos precisar encontrar um vetor normal ao plano e usar a fórmula de distância.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar dois vetores direcionais no plano vlambda = ( partial xpartial lambda, partial ypartial lambda, partial zpartial lambda ) = (1, 2, -1) . Esses vetores são determinados pelos coeficientes das variáveis vmu = ( partial xpartial mu, partial ypartial mu, partial zpartial mu ) = (1, -1, 1) e nas equações paramétricas.
Para :
Para :
Passo 3
Agora, vamos encontrar um vetor normal ao plano n = vlambda times vmu = i & j & k 1 & 2 & -1 1 & -1 & 1 . Para isso, calculamos o produto vetorial dos vetores direcionais n = i(2 cdot 1 - (-1) cdot (-1)) - j(1 cdot 1 - (-1) cdot 1) + k(1 cdot (-1) - 2 cdot 1) = (2 - 1)i - (1 - (-1))j + (-1 - 2)k = (1, -2, -3) e :
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal é .
Passo 4
Precisamos de um ponto qualquer no plano P0 = (1 + 0 + 0, -2 + 2 cdot 0 - 0, 1 - 0 + 0) = (1, -2, 1) para aplicar a fórmula da distância. Vamos escolher e :
Passo 5
Vamos calcular o vetor que vai do ponto P0P = P - P0 = (1 - 1, 1 - (-2), 3 - 1) = (0, 3, 2) no plano até o ponto :
Passo 6
Agora, usamos a fórmula da distância de um ponto a um plano, que é: