A distância entre o ponto P=(1,1,3) e o plano pi:lx=1+lambda+mu y=-2+2 lambda-mu z=1-lambda+mu (lambda, mu in R) é igual a
(A) 12 / raiz3
(B) 3 / raiz14
© 1 / raiz2
(D) 5 / raiz2
(E) 12 / raiz14

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância entre o ponto x = 1 + lambda + mu y = -2 + 2lambda - mu z = 1 - lambda + mu e o plano definido pelas equações paramétricas:
Isso envolve conceitos de geometria analítica, mais especificamente a fórmula para calcular a distância de um ponto a um plano. Vamos precisar encontrar um vetor normal ao plano e usar a fórmula de distância.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar dois vetores direcionais no plano vlambda = ( partial xpartial lambda, partial ypartial lambda, partial zpartial lambda ) = (1, 2, -1) . Esses vetores são determinados pelos coeficientes das variáveis vmu = ( partial xpartial mu, partial ypartial mu, partial zpartial mu ) = (1, -1, 1) e nas equações paramétricas.
Para :
Para :

Passo 3

Agora, vamos encontrar um vetor normal ao plano n = vlambda times vmu = i & j & k 1 & 2 & -1 1 & -1 & 1 . Para isso, calculamos o produto vetorial dos vetores direcionais n = i(2 cdot 1 - (-1) cdot (-1)) - j(1 cdot 1 - (-1) cdot 1) + k(1 cdot (-1) - 2 cdot 1) = (2 - 1)i - (1 - (-1))j + (-1 - 2)k = (1, -2, -3) e :
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal é .

Passo 4

Precisamos de um ponto qualquer no plano P0 = (1 + 0 + 0, -2 + 2 cdot 0 - 0, 1 - 0 + 0) = (1, -2, 1) para aplicar a fórmula da distância. Vamos escolher e :

Passo 5

Vamos calcular o vetor que vai do ponto P0P = P - P0 = (1 - 1, 1 - (-2), 3 - 1) = (0, 3, 2) no plano até o ponto :

Passo 6

Agora, usamos a fórmula da distância de um ponto a um plano, que é:
d = |n cdot P0P|||n||
Primeiro, calculamos o produto escalar n cdot P0P = 1 cdot 0 + (-2) cdot 3 + (-3) cdot 2 = 0 - 6 - 6 = -12 :
||n|| = raiz1^2 + (-2)^2 + (-3)^2 = raiz1 + 4 + 9 = raiz14
O valor absoluto é .
Agora, calculamos a norma de :

Resposta

Portanto, a distância entre o ponto d = 12raiz14 e o plano é:
Então, a alternativa correta é a letra (E) .

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