Para cada hipérbole de equação dada abaixo, determine as coordenadas de seu centro, focos e vértices e as equações de suas assíntotas. Faça um esboço no plano cartesiano da hipérbole, juntamente com suas assíntotas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de hipérbole juntos! A gente vai descobrir o centro, os focos, os vértices e as equações das assíntotas da hipérbole dada pela equação
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre hipérboles, e seguir um passo a passo bem tranquilo.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma padrão de uma hipérbole que abre para os lados é:
Onde
é o centro da hipérbole,
é a distância dos vértices ao centro, e
está relacionado às assíntotas.
Passo 3
Vamos manipular a equação dada para se parecer com a forma padrão. A equação original é:
Dividindo ambos os lados por 9 para simplificar:
Simplificando:
Agora, comparando com a forma padrão, temos:
Passo 4
Identificamos agora os parâmetros da hipérbole:
-
Centro (
): Como não há termos ou subtraídos, o centro está na origem: . -
a: É a raiz quadrada do denominador da primeira fração. Aqui,
. -
b: É a raiz quadrada do denominador da segunda fração. Aqui,
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os vértices. Para hipérboles que abrem horizontalmente, os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo x.
Então, os vértices são:
Passo 6
Os focos são pontos onde a hipérbole “foca”, e a distância do centro aos focos é
, onde:
Então, os focos estão em:
Passo 7
As assíntotas são retas que a hipérbole se aproxima à medida que se estende ao infinito. A equação das assíntotas para hipérboles que abrem horizontalmente é:
Substituindo os valores que temos:
Resposta
Centro:
Vértices:
e
Focos:
e
Assíntotas:
e
Exercícios relacionados
Faça um esboço gráfico das regiões a seguir
.
Escrever a Equação Cartesiana da reta que passa pelo ponto
e paralela ao vetor
se
(b) e
.
(b)
Considere o subespaço:
Escolha uma base para
;
Faça um esboço gráfico das regiões abaixo
;