Para cada hipérbole de equação dada abaixo, determine as coordenadas de seu centro, focos e vértices e as equações de suas assíntotas. Faça um esboço no plano cartesiano da hipérbole, juntamente com suas assíntotas.
9 x^2-y^2=9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de hipérbole juntos! A gente vai descobrir o centro, os focos, os vértices e as equações das assíntotas da hipérbole dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre hipérboles, e seguir um passo a passo bem tranquilo.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma padrão de uma hipérbole que abre para os lados é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Onde é o centro da hipérbole, é a distância dos vértices ao centro, e está relacionado às assíntotas.

Passo 3

Vamos manipular a equação dada para se parecer com a forma padrão. A equação original é:
9x^2 - y^2 = 9
Dividindo ambos os lados por 9 para simplificar:
9x^29 - y^29 = 99
Simplificando:
x^2 - y^29 = 1
Agora, comparando com a forma padrão, temos:
(x - 0)^21^2 - (y - 0)^23^2 = 1

Passo 4

Identificamos agora os parâmetros da hipérbole:
  • Centro ( ): Como não há termos ou subtraídos, o centro está na origem: .
  • a: É a raiz quadrada do denominador da primeira fração. Aqui, .
  • b: É a raiz quadrada do denominador da segunda fração. Aqui, .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os vértices. Para hipérboles que abrem horizontalmente, os vértices estão a uma distância (h pm a, k) = (0 pm 1, 0) Rightarrow (1, 0) e (-1, 0) do centro ao longo do eixo x.
Então, os vértices são:

Passo 6

Os focos são pontos onde a hipérbole “foca”, e a distância do centro aos focos é c = raiza^2 + b^2 = raiz1 + 9 = raiz10 , onde:
(h pm c, k) = (0 pm raiz10, 0) Rightarrow (raiz10, 0) e (-raiz10, 0)
Então, os focos estão em:

Passo 7

As assíntotas são retas que a hipérbole se aproxima à medida que se estende ao infinito. A equação das assíntotas para hipérboles que abrem horizontalmente é:
y = pm ba(x - h) + k
Substituindo os valores que temos:
y = pm 31(x - 0) + 0 Rightarrow y = pm 3x

Resposta

Centro:
Vértices: e
Focos: e
Assíntotas: e

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