Beleza, vamos lá! A questão pede para fazermos um esboço gráfico da região definida pela inequação . Isso está relacionado à Geometria Analítica, especificamente com as hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar entender como desenhar a hipérbole associada e identificar a região que satisfaz a desigualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a inequação para facilitar nossa análise:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole horizontal, que tem a forma:
No nosso caso, , , e . Então, e .
Passo 3
Agora, vamos identificar os vértices da hipérbole. Para hipérboles horizontais, os vértices estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo x. Como nosso centro é :
Então, os vértices são e .
Passo 4
Em seguida, vamos determinar as assíntotas da hipérbole. As assíntotas são linhas que a hipérbole se aproxima mas nunca toca. Para a forma padrão, as assíntotas são dadas por:
Substituindo e :
Então, as equações das assíntotas são e .
Passo 5
Agora, vamos desenhar a hipérbole. Com os vértices em e e as assíntotas determinadas, a hipérbole terá seus ramos se abrindo para a direita e para a esquerda do centro , aproximando-se das assíntotas conforme se afastam dos vértices.
Passo 6
Por fim, a inequação indica que queremos a região dentro da hipérbole. Ou seja, todos os pontos que satisfazem essa desigualdade estarão na área entre os dois ramos da hipérbole.
Resposta
O esboço gráfico da região definida por é uma área delimitada pelos ramos de uma hipérbole horizontal com vértices em e , e assíntotas nas linhas e . A região inclui todos os pontos entre esses ramos.