Faça um esboço gráfico das regiões abaixo
x^24-y^29 <= 1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para fazermos um esboço gráfico da região definida pela inequação x^24 - y^29 <= 1. Isso está relacionado à Geometria Analítica, especificamente com as hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar entender como desenhar a hipérbole associada e identificar a região que satisfaz a desigualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a inequação para facilitar nossa análise:
x^24 - y^29 <= 1
Essa é a forma padrão de uma hipérbole horizontal, que tem a forma:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
No nosso caso, h = 0, k = 0, a^2 = 4 e b^2 = 9. Então, a = 2 e b = 3.

Passo 3

Agora, vamos identificar os vértices da hipérbole. Para hipérboles horizontais, os vértices estão localizados a uma distância a do centro ao longo do eixo x. Como nosso centro é (0,0):
Vértices: ( pm a, 0 ) Rightarrow ( pm 2, 0 ) é
Então, os vértices são (2, 0) e (-2, 0).

Passo 4

Em seguida, vamos determinar as assíntotas da hipérbole. As assíntotas são linhas que a hipérbole se aproxima mas nunca toca. Para a forma padrão, as assíntotas são dadas por:
y = pm bax
Substituindo a = 2 e b = 3:
y = pm 32x
Então, as equações das assíntotas são y = 32x e y = -32x.

Passo 5

Agora, vamos desenhar a hipérbole. Com os vértices em (2,0) e (-2,0) e as assíntotas determinadas, a hipérbole terá seus ramos se abrindo para a direita e para a esquerda do centro (0,0), aproximando-se das assíntotas conforme se afastam dos vértices.

Passo 6

Por fim, a inequação x^24 - y^29 <= 1 indica que queremos a região dentro da hipérbole. Ou seja, todos os pontos (x, y) que satisfazem essa desigualdade estarão na área entre os dois ramos da hipérbole.

Resposta

O esboço gráfico da região definida por x^24 - y^29 <= 1 é uma área delimitada pelos ramos de uma hipérbole horizontal com vértices em (2,0) e (-2,0), e assíntotas nas linhas y = 32x e y = -32x. A região inclui todos os pontos entre esses ramos.

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