Considere o subespaço:
W=(b-c, a+4 b-3 c, a+b,-2 a-3 b+c) in R^4 mid a, b, c in R
Escolha uma base para W;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é sobre espaços vetoriais e bases. Especificamente, queremos encontrar uma base para o subespaço W = (b - c, , a + 4b - 3c, , a + b, , -2a - 3b + c) mid a, b, c in R de definido por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar uma base para um espaço vetorial, ou seja, encontrar um conjunto de vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar os vetores de w = (b - c, , a + 4b - 3c, , a + b, , -2a - 3b + c) em termos dos parâmetros , e . Podemos escrever qualquer vetor como:
Isso significa que cada componente do vetor depende linearmente dos valores de , e .

Passo 3

Agora, vamos separar os coeficientes de w = a cdot (0, 1, 1, -2) + b cdot (1, 4, 1, -3) + c cdot (-1, -3, 0, 1) , v1 = (0, 1, 1, -2), v2 = (1, 4, 1, -3), v3 = (-1, -3, 0, 1) e para cada componente do vetor:
Aqui, vimos que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores:

Passo 4

Para encontrar uma base, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, eles formam uma base para 0 & 1 & -1 1 & 4 & -3 1 & 1 & 0 -2 & -3 & 1 . Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular seu determinante ou verificar a dependência linear.

Passo 5

Resolvido, percebemos que os três vetores são linearmente independentes porque nenhuma combinação não trivial deles resulta no vetor zero. Portanto, esses vetores formam uma base para .

Resposta

Uma base para 0 1 1 -2 , 1 4 1 -3 , -1 -3 0 1 é formada pelos vetores:

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