Beleza, vamos lá! O problema que temos é sobre espaços vetoriais e bases. Especificamente, queremos encontrar uma base para o subespaço de definido por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar uma base para um espaço vetorial, ou seja, encontrar um conjunto de vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos expressar os vetores de em termos dos parâmetros , e . Podemos escrever qualquer vetor como:
Isso significa que cada componente do vetor depende linearmente dos valores de , e .
Passo 3
Agora, vamos separar os coeficientes de , e para cada componente do vetor:
Aqui, vimos que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores:
Passo 4
Para encontrar uma base, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, eles formam uma base para . Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular seu determinante ou verificar a dependência linear.
Passo 5
Resolvido, percebemos que os três vetores são linearmente independentes porque nenhuma combinação não trivial deles resulta no vetor zero. Portanto, esses vetores formam uma base para .
Resposta
Uma base para 0 1 1 -2 , 1 4 1 -3 , -1 -3 0 1 é formada pelos vetores: