Faça um esboço gráfico das regiões a seguir
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer fazer um esboço gráfico da desigualdade
. Isso está ligado ao estudo de elipses na geometria analítica. Para resolver, vamos precisar entender a forma geral da equação de uma elipse e como ela se representa no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da equação que temos. A equação
é a forma padrão da elipse centrada na origem (0,0). Nessa forma,
está no denominador do termo com
e
no denominador do termo com
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
e
. Sabemos que
e
. Então, tirando a raiz quadrada:
Esses valores representam os semi-eixos da elipse. O semi-eixo maior (a) está no eixo
e tem comprimento 3, e o semi-eixo menor (b) está no eixo
e tem comprimento 2.
Passo 4
Com esses valores, podemos desenhar a elipse. Como ela está centrada na origem, os vértices estarão em:
- Eixos do
: (3,0) e (-3,0) - Eixos do
: (0,2) e (0,-2)
Isso nos dá os pontos principais para começar o esboço.
Passo 5
Agora, já que a desigualdade é
, isso significa que queremos a região dentro da elipse, pois o símbolo “<” indica que estamos considerando todos os pontos cujo valor combinado de
é menor que 1.
Passo 6
Para finalizar, vamos sombrear a região dentro da elipse desenhada. Isso representa todos os pontos
que satisfazem a desigualdade
.
Resposta
O esboço gráfico representa uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior de comprimento 3 no eixo
e semi-eixo menor de comprimento 2 no eixo
. A região a ser sombreada é o interior dessa elipse.
Exercícios relacionados
Escrever a Equação Cartesiana da reta que passa pelo ponto
e paralela ao vetor
se
(b) e
.
(b)
Escrever a Equação Cartesiana da reta que passa pelo ponto
e paralela ao vetor
se
(a) e
;
(a)
Para cada hipérbole de equação dada abaixo, determine as coordenadas de seu centro, focos e vértices e as equações de suas assíntotas. Faça um esboço no plano cartesiano da hipérbole, juntamente com suas assíntotas.
Considere o subespaço:
Escolha uma base para
;