Para cada hipérbole de equação dada abaixo, determine as coordenadas de seu centro, focos e vértices e as equações de suas assíntotas. Faça um esboço no plano cartesiano da hipérbole, juntamente com suas assíntotas.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A gente tem a equação de uma hipérbole:
O conteúdo que a gente vai usar aqui é de geometria analítica, especificamente sobre hipérboles. Para resolver, vamos precisar identificar o centro da hipérbole, os vértices, os focos e as assíntotas. Depois, vamos esboçar o gráfico dessa hipérbole no plano cartesiano junto com suas assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma canônica para facilitar a identificação das características. A forma geral de uma hipérbole é:
Onde
é o centro da hipérbole,
é a distância do centro aos vértices e
está relacionado à largura da hipérbole.
Para colocar nossa equação nessa forma, vamos dividir todos os termos por 36:
Simplificando:
Agora, a equação está na forma canônica, onde:
E como não temos termos
ou
, o centro
é
.
Passo 3
Com o centro identificado como
, vamos encontrar os vértices da hipérbole. Como a hipérbole é da forma
, ela é vertical, ou seja, abre para cima e para baixo.
Os vértices estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo y. Então:
- Vértice superior:
- Vértice inferior:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os focos da hipérbole. A distância dos focos ao centro é dada por
, onde:
Substituindo os valores:
Então, os focos estão localizados a uma distância
ao longo do eixo y:
- Foco superior:
- Foco inferior:
Passo 5
Vamos agora determinar as equações das assíntotas da hipérbole. As assíntotas são retas que passam pelo centro e têm inclinações dadas por
para hipérboles verticais.
Portanto, as equações das assíntotas são:
Substituindo
e
:
Ou seja:
Passo 6
Para finalizar, fazemos um esboço da hipérbole no plano cartesiano. A hipérbole terá seu centro na origem
, vértices em
e
, focos em
e
, e as assíntotas serão as retas
e
. A hipérbole abre para cima e para baixo, seguindo a direção das assíntotas.
Resposta
- Centro:
- Vértices:
e - Focos:
e - Assíntotas:
e
Exercícios relacionados
Usando determinante, encontre a equação da reta que passa pelos pontos
e
.
Determine se os vetores nos itens a seguir formam uma base de
:
(b) ;
(b)
Dado o elipsoide
determine os comprimentos dos eixos, os traços com os três planos coordenados e com o plano
.
eixo maior eixo menor
eixo menor
Traço Traço
Traço XY: Traço
eixo maior
Traço
Traço XY:
Para os paraboloides abaixo determine a interseção com o plano
, indicando quais representam paraboloides simples ou hiperbólico.
d.
Paraboloide Simples
d.