Para cada hipérbole de equação dada abaixo, determine as coordenadas de seu centro, focos e vértices e as equações de suas assíntotas. Faça um esboço no plano cartesiano da hipérbole, juntamente com suas assíntotas.
4 y^2-9 x^2=36

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A gente tem a equação de uma hipérbole:
4 y^2 - 9 x^2 = 36
O conteúdo que a gente vai usar aqui é de geometria analítica, especificamente sobre hipérboles. Para resolver, vamos precisar identificar o centro da hipérbole, os vértices, os focos e as assíntotas. Depois, vamos esboçar o gráfico dessa hipérbole no plano cartesiano junto com suas assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma canônica para facilitar a identificação das características. A forma geral de uma hipérbole é:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Onde (h, k) é o centro da hipérbole, a é a distância do centro aos vértices e b está relacionado à largura da hipérbole.
Para colocar nossa equação nessa forma, vamos dividir todos os termos por 36:
4 y^236 - 9 x^236 = 3636
Simplificando:
y^29 - x^24 = 1
Agora, a equação está na forma canônica, onde:
  • a^2 = 9 Rightarrow a = 3
  • b^2 = 4 Rightarrow b = 2
E como não temos termos (x - h) ou (y - k), o centro (h, k) é (0, 0).

Passo 3

Com o centro identificado como (0, 0), vamos encontrar os vértices da hipérbole. Como a hipérbole é da forma y^2a^2 - x^2b^2 = 1, ela é vertical, ou seja, abre para cima e para baixo.
Os vértices estão localizados a uma distância a do centro ao longo do eixo y. Então:
  • Vértice superior: (0, a) = (0, 3)
  • Vértice inferior: (0, -a) = (0, -3)

Passo 4

Agora, vamos encontrar os focos da hipérbole. A distância dos focos ao centro é dada por c, onde:
c = raiza^2 + b^2
Substituindo os valores:
c = raiz9 + 4 = raiz13
Então, os focos estão localizados a uma distância c ao longo do eixo y:
  • Foco superior: (0, c) = (0, raiz13)
  • Foco inferior: (0, -c) = (0, -raiz13)

Passo 5

Vamos agora determinar as equações das assíntotas da hipérbole. As assíntotas são retas que passam pelo centro e têm inclinações dadas por pm ab para hipérboles verticais.
Portanto, as equações das assíntotas são:
y = pm ab x
Substituindo a = 3 e b = 2:
y = pm 32 x
Ou seja:
y = 32 x e y = -32 x

Passo 6

Para finalizar, fazemos um esboço da hipérbole no plano cartesiano. A hipérbole terá seu centro na origem (0, 0), vértices em (0, 3) e (0, -3), focos em (0, raiz13) e (0, -raiz13), e as assíntotas serão as retas y = 32 x e y = -32 x. A hipérbole abre para cima e para baixo, seguindo a direção das assíntotas.

Resposta

  • Centro: (0, 0)
  • Vértices: (0, 3) e (0, -3)
  • Focos: (0, raiz13) e (0, -raiz13)
  • Assíntotas: y = 32 x e y = -32 x

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