Dado o elipsoide
determine os comprimentos dos eixos, os traços com os três planos coordenados e com o plano
.
eixo maior
eixo menor
eixo menor
Traço
Traço
Traço XY:
Traço
eixo maior
Traço
Traço XY:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipsoides! O enunciado nos dá a equação do elipsoide
e pede para determinar os comprimentos dos eixos, os traços com os três planos coordenados e com o plano
. Para isso, vamos precisar entender a forma geral da equação do elipsoide, identificar os parâmetros que definem seus eixos e calcular os pontos de interseção com os planos mencionados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do elipsoide na forma padrão. A forma geral de um elipsoide centrado na origem é:
Onde
,
e
são os semi-eixos do elipsoide ao longo dos eixos
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos adaptar a equação dada para a forma padrão dividindo todos os termos por 25:
Agora, podemos identificar cada termo com a forma padrão:
Passo 4
A partir disso, identificamos os semi-eixos:
Lembrando que os comprimentos completos dos eixos são o dobro dos semi-eixos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os traços do elipsoide com os planos coordenados. Para isso, fixamos uma das variáveis em zero e resolvemos para as outras duas.
Traço no Plano
(
):
Essa é a equação de uma elipse no plano
.
Traço no Plano
(
):
Outra elipse, agora no plano
.
Traço no Plano
(
):
E mais uma elipse no plano
.
Passo 6
Por fim, vamos determinar o traço com o plano
. Para isso, substituímos
por 1 na equação original:
Subtraindo 4 de ambos os lados:
Dividindo todos os termos por 21 para deixar a equação na forma padrão:
Essa é a equação de uma elipse no plano
.
Resposta
Os comprimentos dos eixos do elipsoide são:
- Eixo maior (x): 5 unidades
- Eixo menor 1 (y):
unidades - Eixo menor 2 (z):
unidades
Os traços com os planos coordenados são:
- Traço no plano
: - Traço no plano
: - Traço no plano
:
O traço com o plano
é:
Isso completa a determinação dos comprimentos dos eixos e dos traços do elipsoide conforme solicitado.
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Usando determinante, encontre a equação da reta que passa pelos pontos
e
.
Para os paraboloides abaixo determine a interseção com o plano
, indicando quais representam paraboloides simples ou hiperbólico.
d.
Paraboloide Simples
d.
Para os paraboloides abaixo determine a interseção com o plano
, indicando quais representam paraboloides simples ou hiperbólico.
b.
Paraboloide Hiperbólico
b.