Dado o elipsoide 4 x^2+9 y^2+16 z^2=25 determine os comprimentos dos eixos, os traços com os três planos coordenados e com o plano x=1.
eixo maior =5 eixo menor 1=103 eixo menor 2=52
Traço Y Z: 9 y^225+16 z^225=1 Traço X Z: 4 x^225+16 z^225=1
Traço XY: 4 x^225+9 y^225=1 Traço x=1: 9 y^2+16 z^2=21

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipsoides! O enunciado nos dá a equação do elipsoide e pede para determinar os comprimentos dos eixos, os traços com os três planos coordenados e com o plano . Para isso, vamos precisar entender a forma geral da equação do elipsoide, identificar os parâmetros que definem seus eixos e calcular os pontos de interseção com os planos mencionados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do elipsoide na forma padrão. A forma geral de um elipsoide centrado na origem é:
x^2a^2 + y^2b^2 + z^2c^2 = 1
Onde , e são os semi-eixos do elipsoide ao longo dos eixos , e , respectivamente.

Passo 3

Vamos adaptar a equação dada para a forma padrão dividindo todos os termos por 25:
4x^225 + 9y^225 + 16z^225 = 1
Agora, podemos identificar cada termo com a forma padrão:
x^2(5/2)^2 + y^2(5/3)^2 + z^2(5/4)^2 = 1

Passo 4

A partir disso, identificamos os semi-eixos:
a = 52, b = 53, c = 54
Lembrando que os comprimentos completos dos eixos são o dobro dos semi-eixos:
Eixo maior (x) = 2a = 5, Eixo menor 1 (y) = 2b = 103, Eixo menor 2 (z) = 2c = 52

Passo 5

Agora, vamos encontrar os traços do elipsoide com os planos coordenados. Para isso, fixamos uma das variáveis em zero e resolvemos para as outras duas.
Traço no Plano 4x^225 + 9y^225 = 1 Rightarrow 4x^225 + 9y^225 = 1 ( 4x^225 + 16z^225 = 1 Rightarrow 4x^225 + 16z^225 = 1 ):
9y^225 + 16z^225 = 1 Rightarrow 9y^225 + 16z^225 = 1
Essa é a equação de uma elipse no plano .
Traço no Plano ( ):
Outra elipse, agora no plano .
Traço no Plano ( ):
E mais uma elipse no plano .

Passo 6

Por fim, vamos determinar o traço com o plano 4(1)^2 + 9y^2 + 16z^2 = 25 Rightarrow 4 + 9y^2 + 16z^2 = 25 . Para isso, substituímos 9y^2 + 16z^2 = 21 por 1 na equação original:
y^2219 + z^22116 = 1 Rightarrow y^273 + z^22116 = 1
Subtraindo 4 de ambos os lados:
Dividindo todos os termos por 21 para deixar a equação na forma padrão:
Essa é a equação de uma elipse no plano .

Resposta

Os comprimentos dos eixos do elipsoide são:
  • Eixo maior (x): 5 unidades
  • Eixo menor 1 (y): 9y^2 + 16z^2 = 21 unidades
  • Eixo menor 2 (z): unidades
Os traços com os planos coordenados são:
  • Traço no plano :
  • Traço no plano :
  • Traço no plano :
O traço com o plano é:
Isso completa a determinação dos comprimentos dos eixos e dos traços do elipsoide conforme solicitado.

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