Determine se os vetores nos itens a seguir formam uma base de R^3 :
(b) (1,1,1),(1,2,3) e(2,-1,1);

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para descobrir se esses três vetores formam uma base do espaço tridimensional . Basicamente, uma base precisa que os vetores sejam linearmente independentes e gerem todo o espaço. Para isso, vamos precisar usar o conceito de determinante de uma matriz formada por esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz. Cada vetor será uma coluna da matriz. Então, temos:
A = 1 & 1 & 2 1 & 2 & -1 1 & 3 & 1

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e formam uma base de det(A) = 1 cdot (2 cdot 1 - (-1) cdot 3) - 1 cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot 1) + 2 cdot (1 cdot 3 - 2 cdot 1) .
O determinante da matriz det(A) = 1 cdot (2 + 3) - 1 cdot (1 + 1) + 2 cdot (3 - 2) é dado por:
det(A) = 1 cdot 5 - 1 cdot 2 + 2 cdot 1
Vamos calcular passo a passo:
det(A) = 5 - 2 + 2 = 5

Passo 4

O determinante calculado foi , que é diferente de zero. Isso significa que os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de .

Resposta

Sim, os vetores , e formam uma base de .

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