Para os paraboloides abaixo determine a interseção com o plano
, indicando quais representam paraboloides simples ou hiperbólico.
d.
Paraboloide Simples
d.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a interseção do paraboloide
com o plano
. O conteúdo envolve geometria analítica, especificamente o estudo de superfícies quadricas chamadas paraboloides. Precisamos entender como essas superfícies se comportam e como encontrar a interseção com um plano dado.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir o valor de
do plano na equação do paraboloide. Como o plano é
, substituímos na equação do paraboloide:
Passo 3
Agora, analisamos a equação resultante:
. Observamos que os termos
e
são quadrados, o que significa que ambos são sempre iguais ou maiores que zero (
e
).
Passo 4
Somando
e
, a soma também será sempre maior ou igual a zero:
No entanto, a equação resultante é igual a
, que é um número negativo. Isso cria uma situação impossível, já que a soma de dois números não negativos não pode ser negativa.
Passo 5
Como não há solução real para a equação
, concluímos que o paraboloide não intercepta o plano
.
Passo 6
Além disso, observamos que a equação original do paraboloide
é um paraboloide simples, pois possui apenas termos quadráticos positivos em
e
, e está aberto na direção positiva do eixo
.
Resposta
A interseção do paraboloide
com o plano
não existe, ou seja, não há pontos comuns. O paraboloide é do tipo simples.
Exercícios relacionados
Dado o elipsoide
determine os comprimentos dos eixos, os traços com os três planos coordenados e com o plano
.
eixo maior eixo menor
eixo menor
Traço Traço
Traço XY: Traço
eixo maior
Traço
Traço XY:
Para cada hipérbole de equação dada abaixo, determine as coordenadas de seu centro, focos e vértices e as equações de suas assíntotas. Faça um esboço no plano cartesiano da hipérbole, juntamente com suas assíntotas.
Para os paraboloides abaixo determine a interseção com o plano
, indicando quais representam paraboloides simples ou hiperbólico.
b.
Paraboloide Hiperbólico
b.
Para os paraboloides abaixo determine a interseção com o plano
, indicando quais representam paraboloides simples ou hiperbólico.
c.
Paraboloide Hiperbólico
c.