Para os paraboloides abaixo determine a interseção com o plano x=-1, indicando quais representam paraboloides simples ou hiperbólico.
d. 5 y^2+z^2=x
5 y^2+z^2=1 Paraboloide Simples

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a interseção do paraboloide com o plano . O conteúdo envolve geometria analítica, especificamente o estudo de superfícies quadricas chamadas paraboloides. Precisamos entender como essas superfícies se comportam e como encontrar a interseção com um plano dado.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir o valor de 5y^2 + z^2 = -1 do plano na equação do paraboloide. Como o plano é , substituímos na equação do paraboloide:

Passo 3

Agora, analisamos a equação resultante: . Observamos que os termos e são quadrados, o que significa que ambos são sempre iguais ou maiores que zero ( e ).

Passo 4

Somando 5y^2 + z^2 >= 0 e , a soma também será sempre maior ou igual a zero:
No entanto, a equação resultante é igual a , que é um número negativo. Isso cria uma situação impossível, já que a soma de dois números não negativos não pode ser negativa.

Passo 5

Como não há solução real para a equação , concluímos que o paraboloide não intercepta o plano .

Passo 6

Além disso, observamos que a equação original do paraboloide é um paraboloide simples, pois possui apenas termos quadráticos positivos em e , e está aberto na direção positiva do eixo .

Resposta

A interseção do paraboloide com o plano não existe, ou seja, não há pontos comuns. O paraboloide é do tipo simples.

Exercícios relacionados

Dado o elipsoide 4 x^2+9 y^2+16 z^2=25 determine os comprimentos dos eixos, os traços com os três planos coordenados e com o plano x=1.
eixo maior =5 eixo menor 1=103 eixo menor 2=52
Traço Y Z: 9 y^225+16 z^225=1 Traço X Z: 4 x^225+16 z^225=1
Traço XY: 4 x^225+9 y^225=1 Traço x=1: 9 y^2+16 z^2=21
Para cada hipérbole de equação dada abaixo, determine as coordenadas de seu centro, focos e vértices e as equações de suas assíntotas. Faça um esboço no plano cartesiano da hipérbole, juntamente com suas assíntotas.
4 y^2-9 x^2=36
Para os paraboloides abaixo determine a interseção com o plano x=-1, indicando quais representam paraboloides simples ou hiperbólico.
b. x^24-z^29=y
z^29=14-y Paraboloide Hiperbólico
Para os paraboloides abaixo determine a interseção com o plano x=-1, indicando quais representam paraboloides simples ou hiperbólico.
c. 3 y^2-z^2=x
3 y^2-z^2=1 Paraboloide Hiperbólico