Para os paraboloides abaixo determine a interseção com o plano x=-1, indicando quais representam paraboloides simples ou hiperbólico.
d. 5 y^2+z^2=x
5 y^2+z^2=1 Paraboloide Simples

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a interseção do paraboloide com o plano . O conteúdo envolve geometria analítica, especificamente o estudo de superfícies quadricas chamadas paraboloides. Precisamos entender como essas superfícies se comportam e como encontrar a interseção com um plano dado.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir o valor de 5y^2 + z^2 = -1 do plano na equação do paraboloide. Como o plano é , substituímos na equação do paraboloide:

Passo 3

Agora, analisamos a equação resultante: . Observamos que os termos e são quadrados, o que significa que ambos são sempre iguais ou maiores que zero ( e ).

Passo 4

Somando 5y^2 + z^2 >= 0 e , a soma também será sempre maior ou igual a zero:
No entanto, a equação resultante é igual a , que é um número negativo. Isso cria uma situação impossível, já que a soma de dois números não negativos não pode ser negativa.

Passo 5

Como não há solução real para a equação , concluímos que o paraboloide não intercepta o plano .

Passo 6

Além disso, observamos que a equação original do paraboloide é um paraboloide simples, pois possui apenas termos quadráticos positivos em e , e está aberto na direção positiva do eixo .

Resposta

A interseção do paraboloide com o plano não existe, ou seja, não há pontos comuns. O paraboloide é do tipo simples.

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