Para cada inequação abaixo, mostre que seu conjunto solução (em R ) é o conjunto S dado:
b) |x^2 - 3| < 1 + |x| ; S = (-1 - raiz(17))/2, -1) ∪ (1, (1 + raiz(17))/2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a inequação e mostrar que o conjunto solução é . Vamos usar conceitos de inequações com valor absoluto para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a inequação . O valor absoluto significa que , desde que . Então, aplicando isso à nossa inequação:

Passo 3

Agora, temos duas inequações para resolver separadamente:
Vamos resolver cada uma delas.

Passo 4

Resolvendo :
Primeiro, isolamos :
Agora, consideramos dois casos para :
  • Caso 1: , então
    Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
    A desigualdade é verdadeira entre as raízes, ou seja, para . Como , consideramos .
  • Caso 2: , então
    Resolvemos :
    A desigualdade é verdadeira entre as raízes, ou seja, para . Como , consideramos .

Passo 5

Resolvendo :
Reescrevendo:
Isolando :
Novamente, consideramos dois casos para :
  • Caso 1: , então
    Resolvemos :
    As raízes são e . A desigualdade é verdadeira para ou . Como , consideramos .
  • Caso 2: , então
    Resolvemos :
    As raízes são e . A desigualdade é verdadeira para ou . Como , consideramos .

Passo 6

Agora, juntamos as soluções das duas inequações:
  1. De :
  2. De :
Para que ambas as condições sejam verdadeiras simultaneamente, precisamos da interseção dos intervalos:
  • Para :
    A interseção é
  • Para :
    A interseção é

Resposta

Portanto, o conjunto solução da inequação em é:

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