Para cada inequação abaixo, mostre que seu conjunto solução (em ) é o conjunto dado:
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a inequação e mostrar que o conjunto solução é . Vamos usar conceitos de inequações com valor absoluto para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a inequação . O valor absoluto significa que , desde que . Então, aplicando isso à nossa inequação:
Passo 3
Agora, temos duas inequações para resolver separadamente:
Vamos resolver cada uma delas.
Passo 4
Resolvendo :
Primeiro, isolamos :
Agora, consideramos dois casos para :
Caso 1:, então
Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
A desigualdade é verdadeira entre as raízes, ou seja, para . Como , consideramos .
Caso 2:, então
Resolvemos :
A desigualdade é verdadeira entre as raízes, ou seja, para . Como , consideramos .
Passo 5
Resolvendo :
Reescrevendo:
Isolando :
Novamente, consideramos dois casos para :
Caso 1:, então
Resolvemos :
As raízes são e . A desigualdade é verdadeira para ou . Como , consideramos .
Caso 2:, então
Resolvemos :
As raízes são e . A desigualdade é verdadeira para ou . Como , consideramos .
Passo 6
Agora, juntamos as soluções das duas inequações:
De :
De :
Para que ambas as condições sejam verdadeiras simultaneamente, precisamos da interseção dos intervalos: