Seja f(x, y) = x * y^2 e r(t) = (1/2 t^2, t^3)
Use a Regra da Cadeia para caminhos para avaliar d/dt f(r(t)) em t = 1 e t = -1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e um caminho definido por . O que a gente precisa fazer é usar a Regra da Cadeia para caminhos para encontrar a derivada de em relação a nos pontos onde e . Para isso, vamos precisar saber como aplicar a regra da cadeia em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que a gente vai substituir e na função pelas componentes de . Então:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão:

Passo 4

Com isso, para encontrar a derivada de em relação a , vamos derivar :

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa derivada nos valores de e :
Para :
Para :

Resposta

A derivada de é quando e quando .

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