Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em .
c) e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se certos conjuntos são abertos no espaço bidimensional . No caso, vamos analisar o conjunto . Para resolver isso, vamos entender o que significa um conjunto ser aberto e aplicar esse conceito ao conjunto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um conjunto aberto. Em , um conjunto é considerado aberto se, para todo ponto dentro dele, conseguimos desenhar um “pequeno círculo” (ou vizinhança) ao redor desse ponto que continua totalmente dentro do conjunto. Isso significa que não há “fronteiras” ou “bordas” rígidas no interior do conjunto.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o conjunto . Esse conjunto é basicamente uma linha vertical no plano onde é sempre igual a 1 e varia entre 1 e 3. Visualmente, é como se fosse um segmento de reta finito.

Passo 4

Vamos pensar se conseguimos desenhar um círculo pequeno ao redor de qualquer ponto desse conjunto que permaneça totalmente dentro do conjunto. Imagine tentar fazer isso: como o conjunto é apenas uma linha reta sem “espessura”, qualquer círculo que você desenhe ao redor de um ponto na linha vai se estender para fora da linha. Isso significa que não conseguimos manter o círculo totalmente dentro do conjunto.

Passo 5

Além disso, como o conjunto é uma linha de dimensão inferior a (que é de dimensão 2), ele não possui “área”. Conjuntos abertos em geralmente têm uma área, como círculos, retângulos, etc., mas uma linha sem espessura não preenche nenhuma área.

Resposta

O conjunto não é aberto em .

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Em que direção de bússola o alpinista deve começar a andar para percorrer um caminho nivelado (duas respostas)?
Seja e
Use a Regra da Cadeia para caminhos para avaliar em e .
Para cada inequação abaixo, mostre que seu conjunto solução (em ) é o conjunto dado:
b)