Seja e . Calcule , onde é um vetor unitário que forma um ângulo com .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada direcional da função no ponto . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente e a derivada direcional. Precisaremos calcular o gradiente da função em e entender como a direção do vetor influencia a derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente, , é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis.
Para :

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Substituindo , e nas derivadas parciais:
Portanto, o gradiente em é:

Passo 4

Sabemos que a derivada direcional de na direção de um vetor unitário é dada por:
Isso significa que precisamos do produto escalar entre o gradiente e o vetor . Mas para isso, precisamos saber como está relacionado com .

Passo 5

Foi dado que o vetor forma um ângulo de com . Podemos usar a propriedade do produto escalar que relaciona o ângulo entre dois vetores:
Como é um vetor unitário, . Portanto:

Passo 6

Agora, vamos calcular o módulo do gradiente :
Sabendo que , substituímos na fórmula:

Resposta

A derivada direcional é igual a .

Exercícios relacionados

Determine para quais valores de 0 ) pode-se afirmar: se e , então .
Seja e .
Calcule .
Se , para e , encontre uma fórmula para no intervalo . Faça um sboço do gráfico de .
Para cada inequação abaixo, mostre que seu conjunto solução (em ) é o conjunto dado:
a)