Seja e . Calcule , onde é um vetor unitário que forma um ângulo com .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada direcional da função no ponto . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente e a derivada direcional. Precisaremos calcular o gradiente da função em e entender como a direção do vetor influencia a derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente, , é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis.
Para :
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Substituindo , e nas derivadas parciais:
Portanto, o gradiente em é:
Passo 4
Sabemos que a derivada direcional de na direção de um vetor unitário é dada por:
Isso significa que precisamos do produto escalar entre o gradiente e o vetor . Mas para isso, precisamos saber como está relacionado com .
Passo 5
Foi dado que o vetor forma um ângulo de com . Podemos usar a propriedade do produto escalar que relaciona o ângulo entre dois vetores: