Em cada integral abaixo, identifique a técnica de resolução, escreva a técnica e, em seguida, resolva a integral detalhando a sua solução (somente com o necessário).
(g) integral x^2 cos (x^3+1000) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, vamos usar a técnica de substituição, que é muito útil quando temos uma função dentro de outra (função composta) e precisamos simplificar a integral. Para isso, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma nova variável, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição. Observando a função u = x^3 + 1000 , vemos que o argumento pode ser uma boa candidata para substituição. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = 3x^2 em relação a du = 3x^2 dx Rightarrow x^2 dx = du3 , que vamos chamar de :
Isso significa que:

Passo 4

Substituindo integral x^2 cos(x^3 + 1000) dx = integral cos(u) cdot du3 = 13 integral cos(u) du e 13 integral cos(u) du = 13 sin(u) + C na integral original, temos:
Agora, vamos integrar em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Por fim, vamos retornar à variável original 13 sin(u) + C = 13 sin(x^3 + 1000) + C substituindo de volta:

Resposta

A integral é igual a .

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