Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
18)
Passo 1
Vamos resolver o exercício 18, que pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências . Vamos utilizar os conceitos de séries de potências e o Teste da Razão para encontrar onde essa série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série: . Nosso objetivo é encontrar os valores de para os quais a série converge.
Passo 3
Para determinar o intervalo de convergência, vamos aplicar o Teste da Razão, que é útil para séries com termos envolvendo potências. O teste consiste em calcular o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos calcular o limite :
Sabemos que tende a quando tende ao infinito, então:
Portanto:
Passo 5
Para que a série convirja pelo Teste da Razão, precisamos que :
Resolvendo a desigualdade:
Passo 6
Agora, vamos verificar os pontos extremos e :
Para :
Aqui, os termos não tendem a zero, portanto a série não converge.
Para :
Novamente, os termos não tendem a zero, então a série não converge.