Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
18)
Passo 1
Vamos resolver o exercício 18, que pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências . Vamos utilizar os conceitos de séries de potências e o Teste da Razão para encontrar onde essa série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série: . Nosso objetivo é encontrar os valores de para os quais a série converge.
Passo 3
Para determinar o intervalo de convergência, vamos aplicar o Teste da Razão, que é útil para séries com termos envolvendo potências. O teste consiste em calcular o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos calcular o limite L = limn to infty | (x-1)^n+1 arctan(n+1)(x-1)^n arctan(n) | = |x-1| cdot limn to infty arctan(n+1)arctan(n) :
limn to infty arctan(n+1)arctan(n) = 1
Sabemos que L = |x-1| tende a quando tende ao infinito, então:
Portanto:
Passo 5
Para que a série convirja pelo Teste da Razão, precisamos que |x-1| < 1 :
-1 < x - 1 < 1 implies 0 < x < 2
Resolvendo a desigualdade:
Passo 6
Agora, vamos verificar os pontos extremos sumn=1^infty(-1)^n arctan(n) e sumn=1^infty arctan(n) :
Para :
Aqui, os termos não tendem a zero, portanto a série não converge.
Para :
Novamente, os termos não tendem a zero, então a série não converge.