Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
18)

Passo 1

Vamos resolver o exercício 18, que pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências . Vamos utilizar os conceitos de séries de potências e o Teste da Razão para encontrar onde essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série: . Nosso objetivo é encontrar os valores de para os quais a série converge.

Passo 3

Para determinar o intervalo de convergência, vamos aplicar o Teste da Razão, que é útil para séries com termos envolvendo potências. O teste consiste em calcular o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular o limite :
Sabemos que tende a quando tende ao infinito, então:
Portanto:

Passo 5

Para que a série convirja pelo Teste da Razão, precisamos que :
Resolvendo a desigualdade:

Passo 6

Agora, vamos verificar os pontos extremos e :
  • Para :
Aqui, os termos não tendem a zero, portanto a série não converge.
  • Para :
Novamente, os termos não tendem a zero, então a série não converge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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21)
Em cada integral abaixo, identifique a técnica de resolução, escreva a técnica e, em seguida, resolva a integral detalhando a sua solução (somente com o necessário).
(g)