Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
21) sum1^infty (x-3)^4 nn^1 / n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para descobrir o intervalo de convergência de uma série de potências. A série que estamos analisando é:
sumn=1^infty (x-3)^4nn^1/n
Então, vamos usar conhecimentos sobre séries de potências e teste de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a série que temos. A série é:
sumn=1^infty (x-3)^4nn^1/n
Aqui, (x-3)^4n é a parte que envolve a variável x, e n^1/n está no denominador.

Passo 3

Para encontrar o intervalo de convergência, geralmente usamos o Teste da Razão ou o Teste da Raiz. Nesse caso, o Teste da Raiz é mais direto, já que temos exponentes envolvendo n.

Passo 4

O Teste da Raiz nos diz para analisar o limite:
L = limn to infty raiz[n]| (x-3)^4nn^1/n |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 5

Vamos calcular esse limite passo a passo:
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da raiz:
raiz[n]| (x-3)^4nn^1/n | = raiz[n]|x-3|^4n cdot raiz[n]1n^1/n
Isso simplifica para:
|x-3|^4 cdot raiz[n]n^-1/n

Passo 6

Agora, observamos que raiz[n]n^-1/n pode ser reescrito usando propriedades de potências:
raiz[n]n^-1/n = n^-1/n^2
Sabemos que, à medida que n cresce, n^-1/n^2 se aproxima de 1, porque o expoente -1/n^2 vai para 0.

Passo 7

Portanto, o limite L simplifica para:
L = |x-3|^4 cdot 1 = |x-3|^4

Passo 8

Aplicando o Teste da Raiz, exigimos que L < 1 para convergência:
|x-3|^4 < 1
Para resolver essa desigualdade, tiramos a raiz quarta de ambos os lados:
|x-3| < 1

Passo 9

A solução para |x-3| < 1 é:
-1 < x - 3 < 1
Adicionando 3 em todos os lados:
2 < x < 4

Passo 10

Agora, precisamos verificar os pontos finais x = 2 e x = 4 para ver se a série converge nesses valores.
Para x = 2:
sumn=1^infty (2-3)^4nn^1/n = sumn=1^infty 1^4nn^1/n = sumn=1^infty 1n^1/n
Como n^1/n to 1 quando n to infty, a série diverge.
Para x = 4:
sumn=1^infty (4-3)^4nn^1/n = sumn=1^infty 1^4nn^1/n = sumn=1^infty 1n^1/n
Novamente, como n^1/n to 1, a série também diverge nesse ponto.

Resposta

O intervalo de convergência da série é 2 < x < 4.

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