Em cada integral abaixo, identifique a técnica de resolução, escreva a técnica e, em seguida, resolva a integral detalhando a sua solução (somente com o necessário).
(k)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a integral de em relação a . A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, mais especificamente a técnica de frações parciais. Pra resolver, vamos precisar quebrar essa fração em partes mais simples que a gente consiga integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a técnica que vamos usar: frações parciais. Essa técnica serve pra decompor uma fração complexa em frações mais simples, facilitando a integração.

Passo 3

Agora, vamos decompôr a fração . Sabemos que pode ser fatorado como . Então, podemos escrever:
Precisamos encontrar os valores de e . Multiplicando ambos os lados por , temos:
Vamos resolver para e escolhendo valores de que simplifiquem a equação:
  • Se :
  • Se :
Então, substituindo de volta:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando term por termo:
Então:
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:

Resposta

Portanto, a integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Em cada integral abaixo, identifique a técnica de resolução, escreva a técnica e, em seguida, resolva a integral detalhando a sua solução (somente com o necessário).
(g)
Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
21)
Em cada integral abaixo, identifique a técnica de resolução, escreva a técnica e, em seguida, resolva a integral detalhando a sua solução (somente com o necessário).
(d)
Em cada integral abaixo, identifique a técnica de resolução, escreva a técnica e, em seguida, resolva a integral detalhando a sua solução (somente com o necessário).
(f)