Em cada integral abaixo, identifique a técnica de resolução, escreva a técnica e, em seguida, resolva a integral detalhando a sua solução (somente com o necessário).
(k) integral 2x^2-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a integral de 2x^2-1 em relação a x. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, mais especificamente a técnica de frações parciais. Pra resolver, vamos precisar quebrar essa fração em partes mais simples que a gente consiga integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a técnica que vamos usar: frações parciais. Essa técnica serve pra decompor uma fração complexa em frações mais simples, facilitando a integração.

Passo 3

Agora, vamos decompôr a fração 2x^2-1. Sabemos que x^2-1 pode ser fatorado como (x-1)(x+1). Então, podemos escrever:
2x^2-1 = 2(x-1)(x+1) = Ax-1 + Bx+1
Precisamos encontrar os valores de A e B. Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+1), temos:
2 = A(x+1) + B(x-1)
Vamos resolver para A e B escolhendo valores de x que simplifiquem a equação:
  • Se x = 1:
    2 = A(1+1) + B(1-1) Rightarrow 2 = 2A Rightarrow A = 1
  • Se x = -1:
    2 = A(-1+1) + B(-1-1) Rightarrow 2 = -2B Rightarrow B = -1
Então, substituindo de volta:
2x^2-1 = 1x-1 - 1x+1

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2x^2-1 dx = integral ( 1x-1 - 1x+1 ) dx
Integrando term por termo:
integral 1x-1 dx = ln|x-1| + C1
integral 1x+1 dx = ln|x+1| + C2
Então:
integral 2x^2-1 dx = ln|x-1| - ln|x+1| + C
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:
ln|x-1| - ln|x+1| = ln| x-1x+1 |

Resposta

Portanto, a integral de 2x^2-1 em relação a x é:
integral 2x^2-1 dx = ln| x-1x+1 | + C
Onde C é a constante de integração.

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