Em cada integral abaixo, identifique a técnica de resolução, escreva a técnica e, em seguida, resolva a integral detalhando a sua solução (somente com o necessário).
(k)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a integral de em relação a . A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, mais especificamente a técnica de frações parciais. Pra resolver, vamos precisar quebrar essa fração em partes mais simples que a gente consiga integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a técnica que vamos usar: frações parciais. Essa técnica serve pra decompor uma fração complexa em frações mais simples, facilitando a integração.
Passo 3
Agora, vamos decompôr a fração . Sabemos que pode ser fatorado como . Então, podemos escrever:
Precisamos encontrar os valores de e . Multiplicando ambos os lados por , temos:
Vamos resolver para e escolhendo valores de que simplifiquem a equação:
Se :
Se :
Então, substituindo de volta:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando term por termo:
Então:
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos: