Em cada integral abaixo, identifique a técnica de resolução, escreva a técnica e, em seguida, resolva a integral detalhando a sua solução (somente com o necessário).
(f) integral 1x^2 raizx^2+4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar aplicar uma substituição trigonométrica que nos ajude a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, observamos que temos uma expressão , que sugere o uso de substituição trigonométrica. Vamos usar a substituição , porque isso simplifica a raiz quadrada.

Passo 3

Com dx = 2sec^2theta , dtheta , derivamos em relação a integral 1(2tantheta)^2 raiz(2tantheta)^2 + 4 cdot 2sec^2theta , dtheta :
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 4

Simplificamos os termos dentro da raiz:
raiz4tan^2theta + 4 = raiz4(tan^2theta + 1) = raiz4sec^2theta = 2sectheta
Substituindo de volta na integral:
integral 14tan^2theta cdot 2sectheta cdot 2sec^2theta , dtheta = integral 18tan^2theta sectheta cdot 2sec^2theta , dtheta

Passo 5

Simplificamos os coeficientes e as funções trigonométricas:
integral 2sec^2theta8tan^2theta sectheta , dtheta = 14 integral secthetatan^2theta , dtheta
Lembrando que 14 integral 1costheta(sinthetacostheta)^2 , dtheta = 14 integral 1costheta cdot cos^2thetasin^2theta , dtheta = 14 integral costhetasin^2theta , dtheta e , podemos reescrever:

Passo 6

Agora, fazemos uma nova substituição para facilitar a integração. Seja 14 integral 1u^2 , du = 14 ( -1u ) + C = -14u + C , então -14sintheta + C . A integral fica:
Substituindo :

Passo 7

Voltando à substituição original sintheta = xraizx^2 + 4 , precisamos expressar -14 cdot xraizx^2 + 4 + C = -raizx^2 + 44x + C em termos de . Sabemos que:
Portanto:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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