Em cada integral abaixo, identifique a técnica de resolução, escreva a técnica e, em seguida, resolva a integral detalhando a sua solução (somente com o necessário).
(f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar aplicar uma substituição trigonométrica que nos ajude a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, observamos que temos uma expressão , que sugere o uso de substituição trigonométrica. Vamos usar a substituição , porque isso simplifica a raiz quadrada.

Passo 3

Com , derivamos em relação a :
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 4

Simplificamos os termos dentro da raiz:
Substituindo de volta na integral:

Passo 5

Simplificamos os coeficientes e as funções trigonométricas:
Lembrando que e , podemos reescrever:

Passo 6

Agora, fazemos uma nova substituição para facilitar a integração. Seja , então . A integral fica:
Substituindo :

Passo 7

Voltando à substituição original , precisamos expressar em termos de . Sabemos que:
Portanto:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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(d)
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(e)