Em cada item abaixo, calcule a derivada da função dada.
f(x) = (x^3 + sen(x)) / (x^3 - cos(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . A matéria aqui é cálculo, mais especificamente derivadas de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente, que é uma técnica para derivar funções que são divisões de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a Regra do Quociente. Se temos uma função que é o quociente de duas funções, ou seja, , a derivada dessa função é dada por:
Isso significa que a derivada do numerador multiplicada pelo denominador, menos o numerador multiplicado pela derivada do denominador, tudo isso dividido pelo quadrado do denominador.

Passo 3

Vamos identificar e na nossa função:
Agora, precisamos encontrar as derivadas dessas duas funções, e .

Passo 4

Vamos derivar :
Agora, vamos derivar :

Passo 5

Agora que temos e , vamos aplicar a Regra do Quociente:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão no numerador passo a passo:
Primeiro, expandindo os termos:
Subtraindo os dois resultados:

Passo 7

Então, a derivada final fica:

Resposta

A derivada da função é

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