Em cada item abaixo, calcule a derivada da função dada.
f(x)=(x+4)/(x ln x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função . O conteúdo que vamos usar é o de cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação como a regra do quociente e a derivada de funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar aplicar essas regras de forma passo a passo.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos a função que queremos derivar: . Essa é uma função que está dividida por outra função, então a regra do quociente será útil aqui.

Passo 3

A regra do quociente nos diz que se temos uma função , sua derivada é . Vamos identificar e na nossa função.

Passo 4

Aqui, e . Agora, precisamos encontrar as derivadas de e , ou seja, e .

Passo 5

Calculando : A derivada de é 1 e a derivada de uma constante, como 4, é 0. Então, .

Passo 6

Agora, calculando : Temos . Aqui, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 7

Aplicando a regra do produto em :
  • Derivada de é 1.
  • Derivada de é .
Então, .

Passo 8

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do quociente:
Substituindo:

Passo 9

Vamos simplificar o numerador:
Então:

Passo 10

Simplificando mais:

Passo 11

Podemos fatorar o numerador:
Então:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados