Em cada item abaixo, calcule a derivada da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função
. O conteúdo que vamos usar é o de cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação como a regra do quociente e a derivada de funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar aplicar essas regras de forma passo a passo.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos a função que queremos derivar:
. Essa é uma função que está dividida por outra função, então a regra do quociente será útil aqui.
Passo 3
A regra do quociente nos diz que se temos uma função
, sua derivada é
. Vamos identificar
e
na nossa função.
Passo 4
Aqui,
e
. Agora, precisamos encontrar as derivadas de
e
, ou seja,
e
.
Passo 5
Calculando
: A derivada de
é 1 e a derivada de uma constante, como 4, é 0. Então,
.
Passo 6
Agora, calculando
: Temos
. Aqui, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 7
Aplicando a regra do produto em
:
- Derivada de
é 1. - Derivada de
é .
Então,
.
Passo 8
Agora que temos
e
, vamos aplicar a regra do quociente:
Substituindo:
Passo 9
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Passo 10
Simplificando mais:
Passo 11
Podemos fatorar o numerador:
Então:
Resposta
A derivada da função
é: