Sejam a em R, a > 0, a diferente de 1, e f(x) = log_a(x). Mostre que f'(x) = 1 / (x ln a).
[Sugestão: Mude o logaritmo para a base e log_a x = ln x / ln a

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada da função , onde é um número real positivo diferente de 1. A gente vai usar o conteúdo de derivadas de funções logarítmicas e também aprender a mudar a base do logaritmo para facilitar a derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a gente pode transformar o logaritmo de base em logaritmo natural (base ). A fórmula para mudar a base do logaritmo é:
Isso vai facilitar porque a derivada do logaritmo natural é algo que a gente já conhece bem.

Passo 3

Agora que a gente tem , vamos derivar essa expressão. A constante pode ficar fora da derivada:

Passo 4

Sabemos que a derivada de é . Então, substituindo isso na expressão:

Resposta

Portanto, a derivada da função é:

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