Seja
uma função diferenciável tal que, para todo
, o ponto
é solução da equação
. Se
, calcule
. Determine as equações das retas tangente e normal que passam pelo ponto
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função diferenciável
que satisfaz a equação
para todo
no domínio da função. Sabemos que
e precisamos encontrar
, que é a derivada da função no ponto
. Depois disso, também vamos determinar as equações das retas tangente e normal que passam pelo ponto
. Para resolver isso, vamos usar derivação implícita e depois aplicar as fórmulas das retas tangente e normal.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar derivação implícita na equação
. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
, lembrando que
é uma função de
.
Derivando termo a termo:
-
Derivada de
:
Usamos a regra do produto: -
Derivada de
:
Novamente, pela regra do produto: -
Derivada de
:
Simplesmente -
Derivada de
:
É zero, porque a derivada de uma constante é zero.
Então, juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
(a derivada que queremos encontrar) e os que não contêm:
Isolando
:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
no ponto
e
:
Substituindo
e
na fórmula:
Simplificando:
Então,
Passo 5
Agora que temos a derivada no ponto
, vamos encontrar a equação da reta tangente. A fórmula da reta tangente é:
Onde
,
e
.
Substituindo:
Podemos deixar assim ou rearranjar para y:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então seu coeficiente angular é o negativo do inverso de
.
Se
, então o coeficiente angular da normal é:
Usando a fórmula da reta:
Podemos deixar assim ou rearranjar para y:
Resposta
Equação da reta tangente:
Equação da reta normal: