Seja y = f(x) uma função diferenciável tal que, para todo x em Df, o ponto (x, f(x)) é solução da equação x*y^3 + 2*x*y^2 + x = 4. Se f(1) = 1, calcule f'(1). Determine as equações das retas tangente e normal que passam pelo ponto (1, f(1))

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função diferenciável que satisfaz a equação para todo no domínio da função. Sabemos que e precisamos encontrar , que é a derivada da função no ponto . Depois disso, também vamos determinar as equações das retas tangente e normal que passam pelo ponto . Para resolver isso, vamos usar derivação implícita e depois aplicar as fórmulas das retas tangente e normal.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar derivação implícita na equação . Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a , lembrando que é uma função de .
Derivando termo a termo:
  • Derivada de :
    Usamos a regra do produto:
  • Derivada de :
    Novamente, pela regra do produto:
  • Derivada de :
    Simplesmente
  • Derivada de :
    É zero, porque a derivada de uma constante é zero.
Então, juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos agrupar os termos que contêm (a derivada que queremos encontrar) e os que não contêm:
Isolando :
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular no ponto e :
Substituindo e na fórmula:
Simplificando:
Então,

Passo 5

Agora que temos a derivada no ponto , vamos encontrar a equação da reta tangente. A fórmula da reta tangente é:
Onde , e .
Substituindo:
Podemos deixar assim ou rearranjar para y:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então seu coeficiente angular é o negativo do inverso de .
Se , então o coeficiente angular da normal é:
Usando a fórmula da reta:
Podemos deixar assim ou rearranjar para y:

Resposta

Equação da reta tangente:
Equação da reta normal:

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