Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
$d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função no ponto . Isso está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo derivadas. Para isso, vamos usar a definição de derivada através de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função no ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. Matemáticamente, usamos a definição de derivada pelo limite:
Aqui, é um pequeno incremento em .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição na nossa função no ponto :
Sabemos que , então simplificamos para:

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos usar uma técnica chamada racionalização, que ajuda a eliminar a raiz do numerador. Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador:
No numerador, aplicamos a identidade :
Agora, o no numerador e denominador cancela:

Passo 5

Agora, basta calcular o limite substituindo :

Resposta

A derivada da função no ponto é .

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Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(j)
Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(g)
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
$m)
Em cada item abaixo, determine .
$f) .