Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
$d)
$d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função
no ponto
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo derivadas. Para isso, vamos usar a definição de derivada através de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função no ponto
nos dá a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. Matemáticamente, usamos a definição de derivada pelo limite:
Aqui,
é um pequeno incremento em
.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição na nossa função
no ponto
:
Sabemos que
, então simplificamos para:
Passo 4
Para resolver esse limite, vamos usar uma técnica chamada racionalização, que ajuda a eliminar a raiz do numerador. Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador:
No numerador, aplicamos a identidade
:
Agora, o
no numerador e denominador cancela:
Passo 5
Agora, basta calcular o limite substituindo
:
Resposta
A derivada da função
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(j)
(j)
Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(g)
(g)
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
$m)
$m)
Em cada item abaixo, determine
.
$f) .
$f)