Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
$m)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que envolve limites, e vamos precisar lembrar como funciona a função seno hiperbólico ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de no ponto é dada por:
Isso significa que vamos calcular esse limite para encontrar a taxa de variação da função em .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função no ponto :
Sabemos que (pois ), então simplificamos para:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite . Sabemos que:
Então, substituindo na expressão do limite:
Podemos usar a expansão de e em série de Taylor:
Subtraindo essas duas séries:
Dividindo por :
Quando tende a 0, todos os termos com desaparecem, restando apenas 1.

Resposta

A derivada de no ponto é:

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Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
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Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(j)
Em cada item abaixo, determine .
$f) .
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
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