Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
$m)
$m)
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função
no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que envolve limites, e vamos precisar lembrar como funciona a função seno hiperbólico (
).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de
no ponto
é dada por:
Isso significa que vamos calcular esse limite para encontrar a taxa de variação da função em
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
no ponto
:
Sabemos que
(pois
), então simplificamos para:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite
. Sabemos que:
Então, substituindo na expressão do limite:
Podemos usar a expansão de
e
em série de Taylor:
Subtraindo essas duas séries:
Dividindo por
:
Quando
tende a 0, todos os termos com
desaparecem, restando apenas 1.
Resposta
A derivada de
no ponto
é:
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Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
$d)
$d)
Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(j)
(j)
Em cada item abaixo, determine
.
$f) .
$f)
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
$g)
$g)