Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(j)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa série infinita usando um dos testes de convergência. A matéria aqui envolve séries infinitas e, para determinar se essa série converge ou diverge, vamos usar o teste da razão ou o teste da raiz. Vamos precisar entender como aplicar esses testes passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar nosso trabalho. A expressão pode ser reescrita de forma mais simples. Sabemos que , então temos:

Passo 3

Agora, vamos considerar o teste da razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de séries analisando o limite da razão entre termos consecutivos da série. A fórmula é:
Se , a série converge absolutamente; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar o teste da razão na nossa série. Primeiro, identificamos . Então, calculamos :

Passo 5

Agora, montamos a razão :
Simplificando os termos:

Passo 6

Para encontrar o limite quando , vamos dividir o numerador e o denominador por :
Isso simplifica para:

Passo 7

O limite nos diz que o teste da razão é inconclusivo. Então, precisamos tentar outro teste. Vamos usar o teste da p-série, que é útil para séries do tipo . Sabemos que essa série converge se .

Passo 8

Observe que o termo geral se comporta como para valores grandes de , já que o no numerador é menor em ordem do que no denominador.
Como é uma p-série com , sabemos que essa série converge.

Resposta

A série converge absolutamente.

Exercícios relacionados

Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(g)
Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
$d)
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
$m)