Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa série infinita usando um dos testes de convergência. A matéria aqui envolve séries infinitas e, para determinar se essa série converge ou diverge, vamos usar o teste da razão ou o teste da raiz. Vamos precisar entender como aplicar esses testes passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar nosso trabalho. A expressão pode ser reescrita de forma mais simples. Sabemos que , então temos:
Passo 3
Agora, vamos considerar o teste da razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de séries analisando o limite da razão entre termos consecutivos da série. A fórmula é:
Se , a série converge absolutamente; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos aplicar o teste da razão na nossa série. Primeiro, identificamos an+1 = (n+1)-1(n+1)^5/2 = n(n+1)^5/2 . Então, calculamos :
Passo 5
Agora, montamos a razão an+1an = n(n+1)^5/2n-1n^5/2 = n cdot n^5/2(n+1)^5/2 cdot (n-1) :
n^7/2(n+1)^5/2 cdot (n-1)
Simplificando os termos:
Passo 6
Para encontrar o limite quando n^7/2(n+1)^5/2 cdot (n-1) = n^7/2n^5/2 cdot n cdot ( 1(1 + 1n)^5/2 cdot (1 - 1n) ) , vamos dividir o numerador e o denominador por n^7/2n^7/2 cdot 1(1 + 1n)^5/2 cdot (1 - 1n) = 11^5/2 cdot 1 = 1 :
Isso simplifica para:
Passo 7
O limite nos diz que o teste da razão é inconclusivo. Então, precisamos tentar outro teste. Vamos usar o teste da p-série, que é útil para séries do tipo . Sabemos que essa série converge se .
Passo 8
Observe que o termo geral se comporta como para valores grandes de , já que o no numerador é menor em ordem do que no denominador.
Como é uma p-série com , sabemos que essa série converge.