Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma série que é e precisamos descobrir se ela converge absolutamente ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz. Esses testes ajudam a determinar o comportamento das séries infinitas comparando os termos da série de certa forma.
Passo 2
Vamos optar pelo Teste da Razão aqui, que é bem útil quando temos que lidar com potências de ou termos que dependem de de forma mais complicada. O Teste da Razão funciona assim: a gente calcula o limite da razão entre o termo e o termo quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não conclui nada.
Passo 3
Primeiro, vamos identificar os termos e da nossa série:
Agora, vamos formar a razão:
Passo 4
Vamos calcular o limite dessa razão quando tende ao infinito:
Sabemos que:
E também:
Então, aplicando essas informações ao nosso limite:
Passo 5
O resultado do limite foi igual a 1. No Teste da Razão, quando o limite é exatamente 1, o teste não nos dá uma resposta definitiva sobre a convergência ou divergência da série. Então, precisamos recorrer a outro método ou a uma comparação direta.
Passo 6
Vamos então comparar a nossa série com uma série conhecida, que é . Essa é a famosa Série Harmônica, que sabemos que diverge.
Observando o termo geral da nossa série:
Sabemos que tende a 1 quando tende ao infinito, então para grandes valores de , nosso termo é aproximadamente igual a . Isso significa que nossa série se comporta como a Série Harmônica, que diverge.