Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
$g)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa calcular a derivada da função
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções exponenciais. Vamos por partes para entender direitinho como chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a taxa de variação dessa função naquele ponto. Basicamente, ela nos diz como a função está “subindo” ou “descendo” naquele ponto específico.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função
. Essa é uma função exponencial onde a base é 4 e o expoente é
. Para derivar isso, precisamos saber como derivar funções da forma
, onde
é uma constante e
é uma função de
.
Passo 4
A regra para derivar
é a seguinte:
Ou seja, a derivada é a própria função multiplicada pelo logaritmo natural da base e pela derivada do expoente.
Passo 5
Aplicando essa regra à nossa função
, temos:
Passo 6
Agora, vamos derivar o expoente
em relação a
:
Pois a derivada de
é 1 e a derivada de uma constante é 0.
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Isso simplifica para:
Passo 8
Agora, precisamos avaliar a derivada no ponto
. Vamos substituir
na expressão da derivada:
Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, então:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Em cada item abaixo, determine
.
$f) .
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Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
$m)
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Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(l)
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Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(o)
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