Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa calcular a derivada da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções exponenciais. Vamos por partes para entender direitinho como chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a taxa de variação dessa função naquele ponto. Basicamente, ela nos diz como a função está “subindo” ou “descendo” naquele ponto específico.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função . Essa é uma função exponencial onde a base é 4 e o expoente é . Para derivar isso, precisamos saber como derivar funções da forma , onde é uma constante e é uma função de .

Passo 4

A regra para derivar é a seguinte:
Ou seja, a derivada é a própria função multiplicada pelo logaritmo natural da base e pela derivada do expoente.

Passo 5

Aplicando essa regra à nossa função , temos:

Passo 6

Agora, vamos derivar o expoente em relação a :
Pois a derivada de é 1 e a derivada de uma constante é 0.

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da derivada:
Isso simplifica para:

Passo 8

Agora, precisamos avaliar a derivada no ponto . Vamos substituir na expressão da derivada:
Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, então:

Resposta

A derivada de no ponto é .

Exercícios relacionados

Em cada item abaixo, determine .
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Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
$m)
Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(l)
Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(o)