Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(l)

Passo 1

Vamos analisar a série para determinar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar os testes da razão e da raiz, que são ferramentas matemáticas para verificar a convergência de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste envolve calcular o limite do valor absoluto de conforme tende ao infinito, onde é o termo geral da série.
Para a nossa série, temos . Portanto:
Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando tende ao infinito:

Passo 3

No Teste da Razão, se o limite calculado for menor que 1, a série converge absolutamente; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo. Como obtivemos o limite igual a 1, o Teste da Razão não nos deu uma resposta definitiva sobre a convergência da série. Então, vamos tentar o Teste da Raiz.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste da Raiz, que consiste em calcular o limite de conforme tende ao infinito.
Para nossa série:
Calculando o limite:
Assim, o limite também é igual a 1 no Teste da Raiz, o que novamente torna o teste inconclusivo.

Resposta

Como os Testes da Razão e da Raiz são inconclusivos (ambos resultaram em limite igual a 1), precisamos de outro método para determinar a convergência da série. Observando a forma da série , percebemos que ela é uma p-série, onde .
Para uma p-série :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
No nosso caso, como , concluímos que a série converge absolutamente.

Exercícios relacionados

Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
$g)
Em cada item abaixo, determine .
$f) .
Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(o)
Utilize o Teorema de Green para calcular as integrais de linhas ao longo das curvas dadas (orientação positiva).
é o círculo ;