Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(l)
(l)
Passo 1
Vamos analisar a série
para determinar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar os testes da razão e da raiz, que são ferramentas matemáticas para verificar a convergência de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste envolve calcular o limite do valor absoluto de
conforme
tende ao infinito, onde
é o termo geral da série.
Para a nossa série, temos
. Portanto:
Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando
tende ao infinito:
Passo 3
No Teste da Razão, se o limite calculado for menor que 1, a série converge absolutamente; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo. Como obtivemos o limite igual a 1, o Teste da Razão não nos deu uma resposta definitiva sobre a convergência da série. Então, vamos tentar o Teste da Raiz.
Passo 4
Agora, aplicamos o Teste da Raiz, que consiste em calcular o limite de
conforme
tende ao infinito.
Para nossa série:
Calculando o limite:
Assim, o limite também é igual a 1 no Teste da Raiz, o que novamente torna o teste inconclusivo.
Resposta
Como os Testes da Razão e da Raiz são inconclusivos (ambos resultaram em limite igual a 1), precisamos de outro método para determinar a convergência da série. Observando a forma da série
, percebemos que ela é uma p-série, onde
.
Para uma p-série
:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge.
No nosso caso, como
, concluímos que a série
converge absolutamente.
Exercícios relacionados
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
$g)
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Em cada item abaixo, determine
.
$f) .
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Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(o)
(o)
Utilize o Teorema de Green para calcular as integrais de linhas ao longo das curvas dadas (orientação positiva).
é o círculo
;