Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(l) sumn=1^infty 1n^3

Passo 1

Vamos analisar a série para determinar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar os testes da razão e da raiz, que são ferramentas matemáticas para verificar a convergência de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste envolve calcular o limite do valor absoluto de an+1an = 1/(n+1)^31/n^3 = ( nn+1 )^3 conforme limn to infty ( nn+1 )^3 = ( limn to infty nn+1 )^3 = (1)^3 = 1 tende ao infinito, onde é o termo geral da série.
Para a nossa série, temos . Portanto:
Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando tende ao infinito:

Passo 3

No Teste da Razão, se o limite calculado for menor que 1, a série converge absolutamente; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo. Como obtivemos o limite igual a 1, o Teste da Razão não nos deu uma resposta definitiva sobre a convergência da série. Então, vamos tentar o Teste da Raiz.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste da Raiz, que consiste em calcular o limite de |an|^1/n = ( 1n^3 )^1/n = n^-3/n conforme limn to infty n^-3/n = limn to infty ( e^ln n )^-3/n = limn to infty e^-3 ln n / n = e^0 = 1 tende ao infinito.
Para nossa série:
Calculando o limite:
Assim, o limite também é igual a 1 no Teste da Raiz, o que novamente torna o teste inconclusivo.

Resposta

Como os Testes da Razão e da Raiz são inconclusivos (ambos resultaram em limite igual a 1), precisamos de outro método para determinar a convergência da série. Observando a forma da série , percebemos que ela é uma p-série, onde .
Para uma p-série :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
No nosso caso, como , concluímos que a série converge absolutamente.

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