Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(o) sumn=1^infty (-1)^nn

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar os testes da razão ou da raiz para descobrir se a série converge absolutamente ou diverge. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esses testes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da razão. Esse teste nos ajuda a verificar a convergência de uma série comparando o limite do quociente entre termos consecutivos. A fórmula fica assim:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge absolutamente. Se , ela diverge. E se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o teste da razão na nossa série. Aqui, an+1an = (-1)^n+1n+1 (-1)^nn = (-1)^n+1 cdot n(-1)^n cdot (n+1) = -n n+1 . Primeiro, vamos calcular o quociente | an+1an | = nn+1 :
Agora, vamos tirar o valor absoluto:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o limite quando L = limn to infty nn+1 = limn to infty 11 + 1n = 1 tende ao infinito:

Passo 5

Como , o teste da razão não nos dá uma resposta definitiva sobre a convergência ou divergência da série. Nesse caso, precisamos tentar outro teste.

Passo 6

Vamos agora aplicar o teste da raiz, que é outro método para verificar a convergência. A fórmula do teste da raiz é:
L = limn to infty raiz[n]|an|
Se , a série converge absolutamente. Se , ela diverge. Se , o teste é inconclusivo.

Passo 7

Aplicando o teste da raiz na nossa série:
L = limn to infty raiz[n]| (-1)^nn | = limn to infty raiz[n]1n = limn to infty 1n^1/n
Sabemos que L = 11 = 1 tende a 1 quando vai para o infinito, então:

Passo 8

Mais uma vez, chegamos a , o que significa que o teste da raiz também é inconclusivo para essa série.

Resposta

Tanto o teste da razão quanto o teste da raiz são inconclusivos para determinar a convergência absoluta ou divergência da série . Para concluir, precisaríamos utilizar outro teste.

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