Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(o)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar os testes da razão ou da raiz para descobrir se a série converge absolutamente ou diverge. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esses testes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da razão. Esse teste nos ajuda a verificar a convergência de uma série comparando o limite do quociente entre termos consecutivos. A fórmula fica assim:
Se , a série converge absolutamente. Se , ela diverge. E se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o teste da razão na nossa série. Aqui, . Primeiro, vamos calcular o quociente :
Agora, vamos tirar o valor absoluto:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:

Passo 5

Como , o teste da razão não nos dá uma resposta definitiva sobre a convergência ou divergência da série. Nesse caso, precisamos tentar outro teste.

Passo 6

Vamos agora aplicar o teste da raiz, que é outro método para verificar a convergência. A fórmula do teste da raiz é:
Se , a série converge absolutamente. Se , ela diverge. Se , o teste é inconclusivo.

Passo 7

Aplicando o teste da raiz na nossa série:
Sabemos que tende a 1 quando vai para o infinito, então:

Passo 8

Mais uma vez, chegamos a , o que significa que o teste da raiz também é inconclusivo para essa série.

Resposta

Tanto o teste da razão quanto o teste da raiz são inconclusivos para determinar a convergência absoluta ou divergência da série . Para concluir, precisaríamos utilizar outro teste.

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(l)
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b)