Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(m)
(m)
Passo 1
Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício para calcular a derivada da função
no ponto
. Estamos falando de derivadas, que é um conceito da Matemática que nos ajuda a entender como uma função está mudando em um ponto específico. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada, que envolve calcular um limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função no ponto
. A derivada
é definida como o limite da taxa de variação da função quando o intervalo
se aproxima de zero. Em fórmula, isso fica assim:
Nossa função é
e queremos calcular a derivada no ponto
.
Passo 3
Vamos substituir
e
na fórmula da derivada:
Sabemos que
, então simplificamos:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite
. Lembre-se que a função
é dada por:
Substituindo isso na expressão do limite:
Passo 5
Vamos avaliar esse limite. Sabemos que, quando
se aproxima de zero,
se aproxima de 1 e
também se aproxima de 1. Mas precisamos ser mais precisos. Expandindo em séries de Taylor:
Subtraindo as duas:
Então:
Portanto:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.