Em cada item abaixo, calcule a derivada da função f no ponto x_0 indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(m) f(x) = senh(x), x0 = 0

Passo 1

Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício para calcular a derivada da função no ponto . Estamos falando de derivadas, que é um conceito da Matemática que nos ajuda a entender como uma função está mudando em um ponto específico. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada, que envolve calcular um limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função no ponto . A derivada é definida como o limite da taxa de variação da função quando o intervalo se aproxima de zero. Em fórmula, isso fica assim:
Nossa função é e queremos calcular a derivada no ponto .

Passo 3

Vamos substituir e na fórmula da derivada:
Sabemos que , então simplificamos:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite . Lembre-se que a função é dada por:
Substituindo isso na expressão do limite:

Passo 5

Vamos avaliar esse limite. Sabemos que, quando se aproxima de zero, se aproxima de 1 e também se aproxima de 1. Mas precisamos ser mais precisos. Expandindo em séries de Taylor:
Subtraindo as duas:
Então:
Portanto:

Resposta

A derivada de no ponto é .

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