Calcule as integrais duplas onde D é um retângulo dado pelas desigualdades abaixo. integral duplaD 6 x^2 y d A, D=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= 1,1 <= y <= 2. (Resp: 3 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de sobre a região , que é um retângulo definido por e . A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, mais especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais duplas em regiões retangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral dupla sobre uma região retangular pode ser calculada como uma iterada de integrais simples. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra. No nosso caso, como é definido por e , podemos escolher a ordem de integração.

Passo 3

Vamos optar por integrar primeiro em relação a integral duplaD 6x^2y , dA = integral1^2 ( integral0^1 6x^2y , dx ) dy e depois em relação a . A integral dupla fica assim:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral0^1 6x^2y , dx :
6y integral0^1 x^2 , dx
Como é tratado como uma constante nessa integração, podemos tirar para fora da integral:

Passo 5

Calculando a integral de integral0^1 x^2 , dx = [ x^33 ]0^1 = 1^33 - 0^33 = 13 em relação a 6y times 13 = 2y :
Portanto, a integral interna fica:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral1^2 2y , dy

Passo 7

Vamos calcular essa integral em relação a integral1^2 2y , dy = 2 integral1^2 y , dy = 2 [ y^22 ]1^2 = 2 ( 2^22 - 1^22 ) = 2 ( 42 - 12 ) = 2 ( 2 - 0,5 ) = 2 times 1,5 = 3 :

Resposta

A integral dupla é igual a .

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