Calcule as integrais duplas onde
é um retângulo dado pelas desigualdades abaixo.
. (Resp: 3
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de
sobre a região
, que é um retângulo definido por
e
. A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, mais especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais duplas em regiões retangulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral dupla sobre uma região retangular
pode ser calculada como uma iterada de integrais simples. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra. No nosso caso, como
é definido por
e
, podemos escolher a ordem de integração.
Passo 3
Vamos optar por integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. A integral dupla fica assim:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Como
é tratado como uma constante nessa integração, podemos tirar
para fora da integral:
Passo 5
Calculando a integral de
em relação a
:
Portanto, a integral interna fica:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 7
Vamos calcular essa integral em relação a
:
Resposta
A integral dupla é igual a
.