Calcule as integrais duplas onde D é um retângulo dado pelas desigualdades abaixo. integral duplaD(x+y) d A, D=(x, y) in R^2 mid 1 <= x <= 2,0 <= y <= 1. (Resp: 2

Passo 1

Então, a gente precisa calcular uma integral dupla sobre a região , que é um retângulo definido por e . A matéria que a gente vai usar aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como integrar uma função de duas variáveis dentro de uma região retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar primeiro em integral duplaD (x + y) , dA = integralx=1^2 integraly=0^1 (x + y) , dy , dx e depois em . A integral fica assim:

Passo 3

Agora, vamos resolver a parte interna da integral, que é em relação a integral0^1 (x + y) , dy = integral0^1 x , dy + integral0^1 y , dy . Aqui, tratamos integral0^1 x , dy = x cdot (1 - 0) = x como uma constante porque estamos integrando em relação a integral0^1 y , dy = 12 y^2 gr|0^1 = 12 :
x + 12
Integrando cada parte:
Então, a parte interna da integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a integral1^2 ( x + 12 ) dx = integral1^2 x , dx + integral1^2 12 , dx de 1 a 2:
integral1^2 x , dx = 12x^2 gr|1^2 = 12(4) - 12(1) = 2 - 0,5 = 1,5
Calculando cada parte:
integral1^2 12 , dx = 12(2 - 1) = 12
1,5 + 0,5 = 2
Somando os resultados:

Resposta

A integral dupla é igual a 2.

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